zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 15, matura 2022 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Niech \(a\) oznacza długość podstawy trójkąta, a \(b\) - długość pozostałych dwóch boków, \(h\) zaś wysokość tego trójkąta równoramiennego.

Część a)

W zadaniu dany jest obwód trójkąta:

\(a+b+b=18\)

\(a+2b=18\)

\(a=18-2b\)

Należy pamiętać, że \(a i b\) są liczbami dodatnimi, a obwód musi być również dodatni:

\(18-2b>0\)

\(-2b>-18/:(-2)\)

\(b<9\)

Zatem: \(b\in(0,9)\)

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

\(h^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\)

\(h^2=b^2-\frac{a^2}{4}\)

\(h^2=b^2-\frac{(2^2(9-b)^2}{4}\)

\(h^2=b^2-(9-b)^2\)

\(h^2=b^2-(81-18b+b^2)\)

\(h^2=18b-81\)

\(h=\sqrt{18b-81}\)

\(18b-81>0\)

\(18b>81\)

\(b>\frac{81}{18}\)

\(b>\frac{9}{2}\)

Zatem \(b\in (\frac{9}{2};9)\)

Obliczamy pole:

\(P=\frac{1}{2}ah=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}\)

Część b)

W części a już wyznaczyliśmy dziedzinę funkcji \(P(b)\). Jest to zbiór \((\frac{9}{2};9)\)

Część c)

Dana jest funkcja

\(P(b)=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}(18-2b)^2(18b-81)}=\sqrt{f(b)}\)

Aby znacznie uprościć rachunki zauważamy, że funkcja \(\sqrt{f(b)}\) jest rosnąca w całej swej dziedzinie, zatem osiąga maksimum dla tego samego argumentu co funkcja \(f(x)\). Wystarczy więc znaleźć maksimum funkcji \(f(x)\).

Obliczamy pochodną:

\(f'(b)=\frac{1}{4}\cdot 2(18-2b)\cdot(-2)\cdot (18b-81)+(18-2b)^2\cdot 18= \)

\(=(-18+2b)(18b-81)+\frac{9}{2}\cdot(324-72b+4b^2)\)

\(-324b+1458+36b^2-162b+1458-324b+18b^2= \)

\(-810b+2916+54b^2 \)

Szukamy miejsca zerowego pochodnej:

\(f'(b)=0\)

\(-810b+2916+54b^2=0/:54 \)

\(b^2-15b+54=0\)

\(\Delta_b=225-216=9\)

\(b_1=\frac{15-3}{2}=6\in (\frac{9}{2};9)\)

\(b_2=\frac{15+3}{2}=9\notin (\frac{9}{2};9)\)

Pochodna jest ujemna w przedziale \((6;9)\) i dodatnia w pozostałym obszarze. Oznacza to, że w punkcie 6 funkcja \(f(b)\) i jednocześnie \(\sqrt{f(b)}\) osiąga maksimum.

Dla \(b=6\) mamy \(a=18-2\cdot 6=6\).

Spośród rozważanych trójkątów największe pole ma trójkąt równoboczny o boku 6.


© medianauka.pl, 2023-04-29, ZAD-4893

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

zadanie maturalne 15, matura rozszerzona 2020

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.