Zadanie maturalne nr 15, matura 2022 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.
a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).
b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.
Rozwiązanie zadania
Niech \(a\) oznacza długość podstawy trójkąta, a \(b\) - długość pozostałych dwóch boków, \(h\) zaś wysokość tego trójkąta równoramiennego.
Część a)
W zadaniu dany jest obwód trójkąta:
\(a+b+b=18\)
\(a+2b=18\)
\(a=18-2b\)
Należy pamiętać, że \(a i b\) są liczbami dodatnimi, a obwód musi być również dodatni:
\(18-2b>0\)
\(-2b>-18/:(-2)\)
\(b<9\)
Zatem: \(b\in(0,9)\)
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(h^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\)
\(h^2=b^2-\frac{a^2}{4}\)
\(h^2=b^2-\frac{(2^2(9-b)^2}{4}\)
\(h^2=b^2-(9-b)^2\)
\(h^2=b^2-(81-18b+b^2)\)
\(h^2=18b-81\)
\(h=\sqrt{18b-81}\)
\(18b-81>0\)
\(18b>81\)
\(b>\frac{81}{18}\)
\(b>\frac{9}{2}\)
Zatem \(b\in (\frac{9}{2};9)\)
Obliczamy pole:
\(P=\frac{1}{2}ah=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}\)
Część b)
W części a już wyznaczyliśmy dziedzinę funkcji \(P(b)\). Jest to zbiór \((\frac{9}{2};9)\)
Część c)
Dana jest funkcja
\(P(b)=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}(18-2b)^2(18b-81)}=\sqrt{f(b)}\)
Aby znacznie uprościć rachunki zauważamy, że funkcja \(\sqrt{f(b)}\) jest rosnąca w całej swej dziedzinie, zatem osiąga maksimum dla tego samego argumentu co funkcja \(f(x)\). Wystarczy więc znaleźć maksimum funkcji \(f(x)\).
Obliczamy pochodną:
\(f'(b)=\frac{1}{4}\cdot 2(18-2b)\cdot(-2)\cdot (18b-81)+(18-2b)^2\cdot 18= \)
\(=(-18+2b)(18b-81)+\frac{9}{2}\cdot(324-72b+4b^2)\)
\(-324b+1458+36b^2-162b+1458-324b+18b^2= \)
\(-810b+2916+54b^2 \)
Szukamy miejsca zerowego pochodnej:
\(f'(b)=0\)
\(-810b+2916+54b^2=0/:54 \)
\(b^2-15b+54=0\)
\(\Delta_b=225-216=9\)
\(b_1=\frac{15-3}{2}=6\in (\frac{9}{2};9)\)
\(b_2=\frac{15+3}{2}=9\notin (\frac{9}{2};9)\)
Pochodna jest ujemna w przedziale \((6;9)\) i dodatnia w pozostałym obszarze. Oznacza to, że w punkcie 6 funkcja \(f(b)\) i jednocześnie \(\sqrt{f(b)}\) osiąga maksimum.
Dla \(b=6\) mamy \(a=18-2\cdot 6=6\).
Spośród rozważanych trójkątów największe pole ma trójkąt równoboczny o boku 6.
© medianauka.pl, 2023-04-29, ZAD-4893
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?
Zadanie nr 2.
Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?
Zadanie nr 3 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.
Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.