Zadanie maturalne nr 3, matura 2023
Treść zadania:
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy ze wzoru skróconego wyrażenia i przekształcimy wyrażenie:
\((2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=\)
\(=4n^2+4n=4n(n+1)\)
Mamy tutaj iloczyn liczby 4 i iloczynu kolejnych dwóch liczb naturalnych.
- Liczba 4 jest podzielna przez samą siebie (4).
- W kolejnych dwóch liczbach naturalnych jedna z nich jest zawsze parzysta, więc jest podzielna przez 2.
Mamy więc liczbę, będącą iloczynem czynników podzielnych przez 2 i 4 (czyli liczbę podzielną przez \(2\cdot 4=8\), co należało dowieść.
© medianauka.pl, 2023-07-04, ZAD-4907
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Zadanie nr 2 — maturalne.
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) i dla każdej liczby całkowitej \(m\) liczba \(k^3m−km^3\) jest podzielna przez \(6\).