zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 20, matura 2023

Treść zadania:

W rombie o boku długości \(6\sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę 150°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

A. 24

B. 72

C. 36

D. \(36\sqrt{2}\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Oznaczmy długości przekątnych przez \(e\) i \(f\). Z rysunku wynika, że \(e=2a, f=2b\). Szukamy iloczynu \(ef=4ab\).

Przekątne rombu są jednocześnie dwusiecznymi kątów wewnętrznych i dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne.

zadanie 20, matura 2023

Skoro kąt rozwarty w rombie ma miarę 150°, to kąt \(\beta\) ma miarę 75°. W trójkącie prostokątnym z oznaczeniami na rysunku sumia miar kątów wewnętrznych jest równa 180. Zatem:

\(75°+90°+\alpha =180°\)

\(\alpha=15°\)

Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wynika, że:

\(\sin{\beta}=\frac{b}{c}\)

\(\sin{75°}=\frac{b}{6\sqrt{2}}/\cdot 6\sqrt{2}\)

\(b=6\sqrt{2}\cdot \sin{75°}\)

\(b=6\sqrt{2}\cdot \sin{45°+30°}\)

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

\(b=6\sqrt{2}\cdot (\sin{45°}\cos{30°}+\cos{45°}\sin{30°})\)

\(b=6\sqrt{2}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})\)

\(b=3\sqrt{3}+3\)

A także:

\(\sin{\alpha}=\frac{a}{c}\)

\(\sin{15°}=\frac{a}{6\sqrt{2}}/\cdot 6\sqrt{2}\)

\(a=6\sqrt{2}\cdot \sin{15°}\)

\(a=6\sqrt{2}\cdot \sin{45°-30°}\)

Korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów:

\(a=6\sqrt{2}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})\)

\(a=3\sqrt{3}-3\)

\(ab=(3\sqrt{3}-3)(3\sqrt{3}-3)\)

\(ab=(3\sqrt{3})^2-9\)

\(ab=27-9=18\)

\(ef=4ab=72\)

ksiązki Odpowiedź

Odpowiedź B

© medianauka.pl, 2023-07-12, ZAD-4925

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Długości przekątnych rombu są równe 6 i 8. Oblicz długość boku tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.