Zadanie maturalne nr 20, matura 2023
Treść zadania:
W rombie o boku długości \(6\sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę 150°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
A. 24
B. 72
C. 36
D. \(36\sqrt{2}\)
Rozwiązanie zadania
Oznaczmy długości przekątnych przez \(e\) i \(f\). Z rysunku wynika, że \(e=2a, f=2b\). Szukamy iloczynu \(ef=4ab\).
Przekątne rombu są jednocześnie dwusiecznymi kątów wewnętrznych i dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne.
Skoro kąt rozwarty w rombie ma miarę 150°, to kąt \(\beta\) ma miarę 75°. W trójkącie prostokątnym z oznaczeniami na rysunku sumia miar kątów wewnętrznych jest równa 180. Zatem:
\(75°+90°+\alpha =180°\)
\(\alpha=15°\)
Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wynika, że:
\(\sin{\beta}=\frac{b}{c}\)
\(\sin{75°}=\frac{b}{6\sqrt{2}}/\cdot 6\sqrt{2}\)
\(b=6\sqrt{2}\cdot \sin{75°}\)
\(b=6\sqrt{2}\cdot \sin{45°+30°}\)
Korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:
\(b=6\sqrt{2}\cdot (\sin{45°}\cos{30°}+\cos{45°}\sin{30°})\)
\(b=6\sqrt{2}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})\)
\(b=3\sqrt{3}+3\)
A także:
\(\sin{\alpha}=\frac{a}{c}\)
\(\sin{15°}=\frac{a}{6\sqrt{2}}/\cdot 6\sqrt{2}\)
\(a=6\sqrt{2}\cdot \sin{15°}\)
\(a=6\sqrt{2}\cdot \sin{45°-30°}\)
Korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów:
\(a=6\sqrt{2}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})\)
\(a=3\sqrt{3}-3\)
\(ab=(3\sqrt{3}-3)(3\sqrt{3}-3)\)
\(ab=(3\sqrt{3})^2-9\)
\(ab=27-9=18\)
\(ef=4ab=72\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-07-12, ZAD-4925
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Długości przekątnych rombu są równe 6 i 8. Oblicz długość boku tego rombu.