Zadanie - ciąg arytmetyczny

Treść zadania:

Wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}\) jest ciągiem arytmetycznym.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym musimy sprawdzić czy różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu \(a_{n+1}-a_{n}\) jest wartością stałą. Najpierw jednak trzeba znaleźć wyraz \(n+1\). Nie jest to trudne, gdyż mamy jawnie zapisany wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu. W więc do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu podstawić \(n+1\):

\(a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}\)

\(a_{n+1}=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}\)

Badamy różnicę ciągu:

\(a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)\sqrt{2}+n+1}{3}-\frac{n\sqrt{2}+n}{3}=\)

\(=\frac{\cancel{n\sqrt{2}}+\sqrt{2}+\cancel{n}+1-\cancel{n\sqrt{2}}-\cancel{n}}{3}=\frac{\sqrt{2}+1}{3}=const\)

Różnica ciągu jest stała (nie zależy od \(n\)), więc tym samym wykazaliśmy, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

Aby lepiej zrozumieć to zadanie przyjrzyj się prostym przykładom.

1) Ciąg \(1,2,3,4,5,...\) jest ciągiem arytmetycznym, gdyż zawsze różnica dwóch kolejnych wyrazów jest taka sama: \(2-1=3-2=4-3=a_{n-1}-a_{n}=1=constans\).

2) Ciąg \(12,23,34,45,...\) jest ciągiem arytmetycznym, bo zawsze różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała: \(23-12=34-23=45-34=a_{n-1}-a_{n}=11=constans\).

Podobne rozumowanie zastosowaliśmy w rozwiązaniu niniejszego zadania.


© medianauka.pl, 2010-01-08, ZAD-494

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:

\((\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio \(7\) i \(\sqrt{7}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5, x, y, \frac{1}{5})\) jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

A. 28

B. 29

C. 33

D. 40

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \((-\frac{3}{2})\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:

A. \(\frac{37}{2}\)

B. \(-\frac{37}{2}\)

C. \(-\frac{5}{2}\)

D. \(\frac{5}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\geq 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Liczby \(2,-1,-4\) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. \(a_n=-3n+5\)

B. \(a_n=n-3\)

C. \(a_n=-n+3\)

D. \(a_n=3n-5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: \(a_1=5, a_2=11\). Wtedy

A. \(a_{14}=71\)

B. \(a_{12}=71\)

C. \(a_{11}=71\)

D. \(a_{10}=71\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy

A. \(a_5=4\)

B. \(a_5=3\)

C. \(a_5=6\)

D. \(a_5=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1= 7 i a_8=−49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. -168

B. -189

C. -21

D. -42

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=−4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) jest równa 16.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=−78\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 20 — maturalne.

Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 21 — maturalne.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

A. \(-42\)

B. \(-36\)

C. \(-18\)

D. \(6\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 22 — maturalne.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=−66\). Różnica tego ciągu jest równa

A. (-7)

B. (-19,4)

C. 7

D. 19,4

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 23 — maturalne.

W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 24 — maturalne.

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.