zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 4, matura 2023 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y\leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Przekształćmy daną nierówność.

\(x^2(x-y)\leq y^2(x-y)\)

\(x^2(x-y)-y^2(x-y)\leq 0\)

\((x^2-y^2)(x-y)\leq 0\)

\((x+y)(x-y)(x-y)\leq 0\)

\((x+y)(x-y)^2\leq 0\)

Ponieważ \(x+y=4\), to:

\(4(x-y)^2\leq 0/:4\)

\((x-y)^2\leq 0\)

Po lewej stronie nierówności mamy kwadrat pewnej liczby, który nie może byćujemny. Wobec tego spełniona jest tylko równość:

\((x-y)^2=0\)

\(x-y=0\)

\(x=y\)

Ponieważ \(x+y=4\), to:

\(x+x=4\)

\(2x=4\)

\(x=2\)

\(y=2\)

To należało wykazać.


© medianauka.pl, 2023-07-18, ZAD-4940

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a− 2b)+2b^2>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a,b\) i \(c\) takich, że \(a<b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.