Zadanie maturalne nr 4, matura 2023 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y\leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).
Rozwiązanie zadania
Przekształćmy daną nierówność.
\(x^2(x-y)\leq y^2(x-y)\)
\(x^2(x-y)-y^2(x-y)\leq 0\)
\((x^2-y^2)(x-y)\leq 0\)
\((x+y)(x-y)(x-y)\leq 0\)
\((x+y)(x-y)^2\leq 0\)
Ponieważ \(x+y=4\), to:
\(4(x-y)^2\leq 0/:4\)
\((x-y)^2\leq 0\)
Po lewej stronie nierówności mamy kwadrat pewnej liczby, który nie może byćujemny. Wobec tego spełniona jest tylko równość:
\((x-y)^2=0\)
\(x-y=0\)
\(x=y\)
Ponieważ \(x+y=4\), to:
\(x+x=4\)
\(2x=4\)
\(x=2\)
\(y=2\)
To należało wykazać.
© medianauka.pl, 2023-07-18, ZAD-4940
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 2.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a− 2b)+2b^2>0\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a,b\) i \(c\) takich, że \(a<b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).