zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 5, matura 2023 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).

Zadanie 5, matura, matematyka rozszerzona 2023

Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

W trójkącie \(DAB\) o kątach 90°, 60°, 180°-90°-60°=30° mamy dane: \(|AD|=2.

\(\cos{60°}=\frac{|AB|}{2}\)

\(\frac{1}{2}=\frac{|AB|}{2}\)

\(|AB|=4\)

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(DAB\) mamy:

\(2^2+|BD|^2=4^2\)

\(|BD|^2=12\)

\(|BD|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)

Ponieważ trójkąt \(KBL\) jest równoramienny, to miara kata \(\angle BKN\) wynosi 45°. Kąt \(ABD\) jest dany (wyliczyliśmy jego miara początku), to 30°. Ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa 180°, to kąt \(\angle BNK\) ma miarę 105°.

Stosujemy twierdzenie sinusów i zapisujemy równość:

\(\frac{|BK|}{\sin{105°}} = \frac{|BN|}{\sin{45°}}\)

\(\frac{1}{\sin{(60°+45°)}} = \frac{|BN|}{\sin{45°}}\)

\(|BN|=\frac{\sin{45°}}{\sin{(60°+45°)}}\)

\(|BN|=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}= \frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\)

Ponieważ \(|BN|+|ND|=|BD|\), to:

\(\sqrt{3}-1+|ND|=2\sqrt{3}\)

\(|ND|=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+1\)

\(|ND|=\sqrt{3}+1\)

Tego należało dowieść.


© medianauka.pl, 2023-07-18, ZAD-4941

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.