Zadanie maturalne nr 8, matura 2023 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC|=4\) i \(|CD=5|\), jest opisany na okręgu. Przekątna \(AC\) tego czworokąta tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem \(AB\) – kąt ostry, którego sinus jest równy \(\frac{1}{4}\) . Oblicz obwód czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek:
Skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie \(ABC\).
\(\frac{|AB|}{\sin{60°}}=\frac{|BC|}{\sin{\alpha}}\)
\(\frac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\frac{1}{4}}\)
\(\frac{1}{4}|AB|=2\sqrt{3}/\cdot 4\)
\(|AB|=8\sqrt{3}\)
Ponieważ w czworokąt jest wpisany okrąg, spełniony jest warunek:
\(|AB|+|CD|=|BC|+|AD|\)
\(8\sqrt{3}+5=4+|AD|\)
\(|AD|=8\sqrt{3}+1\)
Obliczamy teraz obwód:
\(L=8\sqrt{3}+5+4+8\sqrt{3}+1=16\sqrt{3}+10\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-07-21, ZAD-4944
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162°. Ile boków ma ten wielokąt?
Zadanie nr 2.
Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Punkty \(A, B, C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku S. Miary kątów \(SBC, BCD, CDA\) są równe odpowiednio: \(|\angle SBC|=60°, |\angle BCD|=110°, |\angle CDA|=90°\) (zobacz rysunek).
Wynika stąd, że miara \(\alpha\); kąta \(DAS\) jest równa
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°