Zadanie maturalne nr 9, matura 2023 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Rozwiąż nierówność:
\(\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}\)
Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) dla każdej liczby rzeczywistej \(a\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystajmy ze wzorów skróconego mnożenia:
\(\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}\)
\(\sqrt{(x+2)^2}<\frac{25}{3}-\sqrt{(x-3)^2}\)
Ponieważ \(\sqrt{a^2}=|a|\), to:
\(|x+2|<\frac{25}{3}-|x-3|\)
Korzystamy z własności wartości bezwzględnej i rozpatrujemy cztery przypadki.
Przypadek 1
\(\begin{cases}x+2\geq 0\\x-3\geq 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x\geq -2\\x\geq 3\end{cases}\)
Dla \(x\in [3,\infty\) możemy opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności:
\(x+2<\frac{25}{3}-(x-3)\)
\(x+2<\frac{25}{3}-x+3\)
\(2x<\frac{28}{3}/:2\)
\(x<\frac{14}{3}\)
Uwzględniając dziedzinę nierówności mamy: \(x\in[3,\frac{14}{3}\)
Przypadek 2
\(\begin{cases}x+2<0\\x-3<0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x<-2\\x<3\end{cases}\)
Dla \(x\in (-\infty,-2\) możemy opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności, zmieniając znak wyrażeń pod wartością bezwzględną:
\(-x-2<\frac{25}{3}-(-x+3)\)
\(-x-2<\frac{25}{3}+x-3\)
\(-2x<\frac{22}{3}/:(-2)\)
\(x>-\frac{11}{3}\)
Uwzględniając dziedzinę nierówności mamy: \(x\in(-\frac{11}{3},-2)\)
Przypadek 2
\(\begin{cases}x+2\geq 0\\x-3<0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x\geq -2\\x<3\end{cases}\)
Dla \(x\in [-2,3)\) otrzymujemy:
\(x+2<\frac{25}{3}-(-x+3)\)
\(x+2<\frac{25}{3}+x-3\)
\(0<-\frac{10}{3}\)
Mamy nierówność tożsamościową, spełnioną dla każdego \(x\).
Uwzględniając dziedzinę nierówności mamy: \(x\in[--2,3)\)
Przypadek 3
\(\begin{cases}x+2<0\\x-3\geq 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x<-2\\x\geq 3\end{cases}\)
\(x\in \emptyset\)
Podsumowanie
łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy rozwiązanie:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-07-21, ZAD-4945
