zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 9, matura 2023 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Rozwiąż nierówność:

\(\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}\)

Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) dla każdej liczby rzeczywistej \(a\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystajmy ze wzorów skróconego mnożenia:

\(\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}\)

\(\sqrt{(x+2)^2}<\frac{25}{3}-\sqrt{(x-3)^2}\)

Ponieważ \(\sqrt{a^2}=|a|\), to:

\(|x+2|<\frac{25}{3}-|x-3|\)

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej i rozpatrujemy cztery przypadki.

Przypadek 1

\(\begin{cases}x+2\geq 0\\x-3\geq 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x\geq -2\\x\geq 3\end{cases}\)

Dla \(x\in [3,\infty\) możemy opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności:

\(x+2<\frac{25}{3}-(x-3)\)

\(x+2<\frac{25}{3}-x+3\)

\(2x<\frac{28}{3}/:2\)

\(x<\frac{14}{3}\)

Uwzględniając dziedzinę nierówności mamy: \(x\in[3,\frac{14}{3}\)

Przypadek 2

\(\begin{cases}x+2<0\\x-3<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x<-2\\x<3\end{cases}\)

Dla \(x\in (-\infty,-2\) możemy opuścić wartość bezwzględną w naszej nierówności, zmieniając znak wyrażeń pod wartością bezwzględną:

\(-x-2<\frac{25}{3}-(-x+3)\)

\(-x-2<\frac{25}{3}+x-3\)

\(-2x<\frac{22}{3}/:(-2)\)

\(x>-\frac{11}{3}\)

Uwzględniając dziedzinę nierówności mamy: \(x\in(-\frac{11}{3},-2)\)

Przypadek 2

\(\begin{cases}x+2\geq 0\\x-3<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x\geq -2\\x<3\end{cases}\)

Dla \(x\in [-2,3)\) otrzymujemy:

\(x+2<\frac{25}{3}-(-x+3)\)

\(x+2<\frac{25}{3}+x-3\)

\(0<-\frac{10}{3}\)

Mamy nierówność tożsamościową, spełnioną dla każdego \(x\).

Uwzględniając dziedzinę nierówności mamy: \(x\in[--2,3)\)

Przypadek 3

\(\begin{cases}x+2<0\\x-3\geq 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x<-2\\x\geq 3\end{cases}\)

\(x\in \emptyset\)

Podsumowanie

łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy rozwiązanie:

ksiązki Odpowiedź

\(x\in(-\frac{11}{3},\frac{14}{3})\)

© medianauka.pl, 2023-07-21, ZAD-4945

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(|x−1|+|x−5| \leq 10−2x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.