Zadanie maturalne nr 12, matura 2023 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).
Rozwiązanie zadania
Zajmijmy się najpierw wyrażeniem \(81^{\log_3{x}}\) i przekształćmy je:
\(81^{\log_3{x}}=(3^4)^{\log_3{x}}= 3^{4\log_3{x}}= 3^{\log_3{x^4}}=x^4\)
Przekształcamy ułamek \(\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\), korzystając z własności logarytmów:
\(\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3} = \frac{2}{3}\log_2{3^{\frac{3}{2}}}\cdot \log_3{2} = \)
\(=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\log_2{3}\cdot \log_3{2} = \log_2{3}\cdot \log_3{2} =\)
\(=\log_2{3}\cdot \frac{\log_2{2}}{\log_2{3}} = \log_2{2} =1\)
Zatem \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x = x^4+x^2-6x\)
Obliczmy teraz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\).
Wyznaczamy pochodną funkcji:
\(f'(x)=4x^3+2x-6\)
Szukamy miejsc zerowych pochodnej:
\(4x^3+2x-6=0\)
\(4x^3+2x-4-2=0\)
\((4x^3-4)+(2x-2)=0\)
\(4(x^3-1)+2(x-1)=0\)
\(4(x-1)(x^2+x+1)+2(x-1)=0\)
\((x-1)(4x^2+4x+4)+2(x-1)=0\)
\((x-1)(4x^2+4x+4+2)=0\)
\((x-1)(4x^2+4x+6)=0\)
Zbadajmy trójmian \(4x^2+4x+6\):
\(\Delta=16-16\cdot6<0\)
Zatem równanie \((x-1)(4x^2+4x+6)=0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\).
Badamy znak pochodnej:
\(f'(x)>0 dla \(x>1\)\)
\(f'(x)<0\) dla \(x<1\), a pamiętając dziedzinę równania dla \(x\in (0,1)\).
Zatem funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \((0,1]\) oraz jest rosnąca w przedziale \([1,+\infty)\).
Stąd dla \(x=1\) funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą równą \(f(1)=14+12−6∙1=−4\).
© medianauka.pl, 2023-07-22, ZAD-4948
Zadania podobne
Zadanie nr 5.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.