zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 12, matura 2023 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Zajmijmy się najpierw wyrażeniem \(81^{\log_3{x}}\) i przekształćmy je:

\(81^{\log_3{x}}=(3^4)^{\log_3{x}}= 3^{4\log_3{x}}= 3^{\log_3{x^4}}=x^4\)

Przekształcamy ułamek \(\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\), korzystając z własności logarytmów:

\(\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3} = \frac{2}{3}\log_2{3^{\frac{3}{2}}}\cdot \log_3{2} = \)

\(=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\log_2{3}\cdot \log_3{2} = \log_2{3}\cdot \log_3{2} =\)

\(=\log_2{3}\cdot \frac{\log_2{2}}{\log_2{3}} = \log_2{2} =1\)

Zatem \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x = x^4+x^2-6x\)

Obliczmy teraz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\).

Wyznaczamy pochodną funkcji:

\(f'(x)=4x^3+2x-6\)

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

\(4x^3+2x-6=0\)

\(4x^3+2x-4-2=0\)

\((4x^3-4)+(2x-2)=0\)

\(4(x^3-1)+2(x-1)=0\)

\(4(x-1)(x^2+x+1)+2(x-1)=0\)

\((x-1)(4x^2+4x+4)+2(x-1)=0\)

\((x-1)(4x^2+4x+4+2)=0\)

\((x-1)(4x^2+4x+6)=0\)

Zbadajmy trójmian \(4x^2+4x+6\):

\(\Delta=16-16\cdot6<0\)

Zatem równanie \((x-1)(4x^2+4x+6)=0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\).

Badamy znak pochodnej:

\(f'(x)>0 dla \(x>1\)\)

\(f'(x)<0\) dla \(x<1\), a pamiętając dziedzinę równania dla \(x\in (0,1)\).

Zatem funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \((0,1]\) oraz jest rosnąca w przedziale \([1,+\infty)\).

Stąd dla \(x=1\) funkcja \(f\) osiąga wartość najmniejszą równą \(f(1)=14+12−6∙1=−4\).


© medianauka.pl, 2023-07-22, ZAD-4948

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x-\frac{1}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.