Zadanie - ciąg arytmetyczny
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).
Rozwiązanie zadania
Zauważamy, że po lewej stronie równania jest ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=1\). Wyraz ostatni tego ciągu nie może być w związku z tym mniejszy od każdego z wcześniejszych wyrazów tego ciągu. Możemy więc obliczyć sumę tego ciągu, korzystając ze wzoru:
Wypiszemy wszystkie dane:
\(a_1=2\)
\(a_n=x\)
\(n=x-1\)
\(S_n=209\)
Ostatni wyraz ciągu \(a_n\), to \(x\), natomiast liczba wszystkich wyrazów ciągu to \(x-1\). Dlaczego? Gdyby pierwszym wyrazem ciągu była liczba 1, to mielibyśmy ciąg kolejnych liczb naturalnych, a ich liczba byłaby taka jak ostatni wyraz ciągu. Ponieważ w naszym ciągu "brakuje" jednego wyrazu (jedynki), bo pierwszym wyrazem jest liczba 2, więc wyrazów jest o 1 mniej, czyli \(x-1\).
Wstawiamy dane do wzoru:
\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\)
\(209=\frac{2+x}{2}\cdot (x-1)/\cdot 2\)
\(418=(x+2)(x-1)\)
\(418=x^2-x+2x-2\)
\(-x^2-x+418+2=0/\cdot (-1)\)
\(x^2+x-420=0\)
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.
\(a=1,\ b=1,\ c=-420\)
\(\Delta=b^2-4ac=1+4\cdot 420=1681\)
\(\sqrt{\Delta}=41\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-41}{2}=-21<0\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+41}{2}=20\)
Pierwszy pierwiastek nie spełnia warunków zadania, więc:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-09, ZAD-498
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Rozwiązać równanie kwadratowe:
a) \(x^2+4x-5=0\)
b) \(x^2-22x+121=0\)
c) \(x^2+2x+7=0\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie:
a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)
b) \(x^2-10x-119=0\)
Zadanie nr 4.
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest
A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)
B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)
C. prawdziwa dla \(x=-1\)
D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest
A. siedmiokąt.
B. dziesięciokąt.
C. dwunastokąt.
D. piętnastokąt.