Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Treść zadania:
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Rozwiązanie zadania
Liczbę przekątnych możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji \(k\)-elementowych zbioru \(n\)-elementowego. Dlaczego?
Każdy wielokąt foremny składa się z \(n\) wierzchołków. Jeżeli wybierzemy ze zbioru wierzchołków każde dwa wierzchołki i połączymy je ze sobą, to otrzymamy wszystkie przekątne w tej figurze oraz boki. Ponieważ interesują nas jedynie przekątne, trzeba będzie od wyniku odjąć liczbę boków w takim \(n\)-kącie foremnym, czyli liczbę \(n\).
Mamy więc zbiór n-elementowy. Wybieramy dwa dowolne punkty i budujemy między nimi odcinek (wybieramy 2 elementy ze zbioru wierzchołków, czyli \(k=2\)). Kolejność wyboru wierzchołków nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy wierzchołek A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jeden odcinek między nimi. Wierzchołki nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne wierzchołki), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru n-elementowego. Aby lepiej zrozumieć nasz tok myślenia, spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje w zależności od warunków zadania.
Liczbę kombinacji oraz liczbę przekątnych x obliczamy następująco:
\(C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
\(x=C_{n}^2-n={n\choose 2}-n=\frac{n!}{2!(n-2)!}-n\)
Zauważmy, że zgodnie z definicją silni \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n\). Co stoi w ciągu przed \(n\)? Oczywiście liczbą o 1 mniejsza. Można więc napisać: \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-2)(n-1)n=(n-2)!(n-1)n\). Wykorzystamy to w naszym wyrażeniu:
\(x=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}-n=\frac{n^2-n}{2}-\frac{2n}{2}=\frac{n^2-3n}{2}=\frac{n(n-3)}{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-11, ZAD-505
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr \(1,2,3,4,5\)?
Zadanie nr 2.
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?
Zadanie nr 3.
Z ilu elementów składa się zbiór \(A\), jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?
Zadanie nr 4.
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?
Zadanie nr 5.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 6.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 7.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 8.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 9.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Zadanie nr 11.
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr \(1, 2, 3, 4\), używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(1, 2, 3, 4\)?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(0, 1, 2, 3\)?
Zadanie nr 12.
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?
Zadanie nr 13.
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?
Zadanie nr 14.
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?
Zadanie nr 15 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.
Zadanie nr 16 — maturalne.
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
A. 100
B. 90
C. 45
D. 20
Zadanie nr 17 — maturalne.
Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa 30.
Zadanie nr 18 — maturalne.
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?
- 402
- 403
- 203
- 204
Zadanie nr 19 — maturalne.
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
Zadanie nr 20 — maturalne.
Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.
Zadanie nr 21 — maturalne.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest
A. 108
B. 60
C. 40
D. 299
Zadanie nr 22 — maturalne.
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest
A. 9·8·7·2
B. 9·10·10·1
C. 9·10·10·2
D. 9·9·8·1
Zadanie nr 23 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest
A. \(5^3\)
B. \(2\cdot 4^3\)
C. \(2\cdot 3^4\)
D. \(3^5\)