Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Treść zadania:
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Rozwiązanie zadania
Dokonujemy trzech losowań. Mamy więc jeden zbiór 10-elementowy obrazków z głowami (\(n=10\)), 20-elementowy z tułowiem (\(n=20\)) i 10-elementowy zbiór obrazków (\(n=10\)) z odnóżami. Wybieramy w pierwszym i trzecim przypadku po jednym elemencie ze zbioru z kartkami (\(k=1\)) oraz w drugim przypadku dwa elementy ze zbioru kartek z obrazkami tułowia (\(k=2\)).
Kolejność wyboru kartek w każdym z trzech losowań nie ma znaczenia, ponieważ losujemy albo tylko jedną kartkę, a gdy losujemy dwie, nie ustalamy ich kolejności. Istotne jest natomiast, że obrazki nie mogą się powtarzać.
Tworzymy więc kombinacje \(k\)-elementowe zbioru \(n\)-elementowego w każdym z trzech przypadków.
(Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje w zależności od różnych warunków zagadnienia.)
Jak połączyć ze sobą te trzy kombinacje? Musimy pomnożyć je przez siebie, aby otrzymać wynik. Dlaczego pomnożyć? Załóżmy, że wybraliśmy pierwszą kartkę. Dobieramy wszystkie pozostałe możliwe kombinacje drugiego zbioru tyle razy, ile jest kombinacji pierwszego zbioru i tak dalej w odniesieniu do drugiego i trzeciego zbioru.
Liczbę możliwych do utworzenia różnych stworków obliczymy następująco:
\(C_{10}^1\cdot C_{20}^2\cdot C_{10}^{1}={10\choose 1}\cdot {20\choose 2}\cdot {10\choose 1}=\)
\(=\frac{10!}{1!(10-1)!}\cdot \frac{20!}{2!(20-2)!}+\frac{10!}{1!(10-1)!}=\)
\(=\frac{\cancel{9!} \cdot 10}{\cancel{9!}}\cdot \frac{\cancel{18!}\cdot 19 \cdot 20}{2\cdot \cancel{18!}}\cdot \frac{\cancel{9!}\cdot 10}{\cancel{9!}}=10\cdot 190\cdot 10=19000\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-12, ZAD-509
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr \(1,2,3,4,5\)?
Zadanie nr 2.
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?
Zadanie nr 3.
Z ilu elementów składa się zbiór \(A\), jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?
Zadanie nr 4.
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?
Zadanie nr 5.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 6.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Zadanie nr 7.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 8.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 9.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 11.
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr \(1, 2, 3, 4\), używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(1, 2, 3, 4\)?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(0, 1, 2, 3\)?
Zadanie nr 12.
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?
Zadanie nr 13.
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?
Zadanie nr 14.
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?
Zadanie nr 15 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.
Zadanie nr 16 — maturalne.
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
A. 100
B. 90
C. 45
D. 20
Zadanie nr 17 — maturalne.
Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa 30.
Zadanie nr 18 — maturalne.
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?
- 402
- 403
- 203
- 204
Zadanie nr 19 — maturalne.
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
Zadanie nr 20 — maturalne.
Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.
Zadanie nr 21 — maturalne.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest
A. 108
B. 60
C. 40
D. 299
Zadanie nr 22 — maturalne.
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest
A. 9·8·7·2
B. 9·10·10·1
C. 9·10·10·2
D. 9·9·8·1
Zadanie nr 23 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest
A. \(5^3\)
B. \(2\cdot 4^3\)
C. \(2\cdot 3^4\)
D. \(3^5\)