Zadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
Treść zadania:
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr \(1, 2, 3, 4\), używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(1, 2, 3, 4\)?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(0, 1, 2, 3\)?
Rozwiązanie zadania
Rozwiązanie podpunktu a)
Ile można utworzyć liczb z cyfr \(1, 2, 3, 4\), używając każdej z cyfr tylko raz?
Ze zbioru czterech cyfr (\(n=4\)) tworzymy ciągi liczb stanowiące liczby jednocyfrowe (\(k=1\)), dwucyfrowe (\(k=2\)), trzycyfrowe (\(k=3\)) oraz czterocyfrowe (\(k=1\)). Cyfry nie mogą się powtarzać, a kolejność cyfr w danej liczbie ma znaczenie.
Zatem tworząc liczby, tworzymy wariacje jedno-, dwu-, trzy- oraz czteroelementowe bez powtórzeń zbioru pięcioelementowego.
(Zobacz tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje z opisem cech warunków zadania z kombinatoryki.)
Liczbę wariacji obliczamy ze wzoru:
Obliczamy więc cztery razy liczbę wariacji zgodnie z powyższym wzorem i sumujemy poszczególne wyniki losowań. Wykonujemy proste obliczenia.
\(V_{4}^1+V_{4}^2+V_{4}^{3}+V_{4}^{4}=\)
\( =\frac{4!}{(4-1)!}+\frac{4!}{(4-2)!}+\frac{4!}{(4-3)!}+\frac{4!}{(4-4)!}=\)
\(=\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!}+\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{0!}=\)
\(=\frac{3!\cdot 4}{3!}+\frac{2!\cdot 3 \cdot 4}{2!}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}=\)
\(=4+12+24+24=64\)
Rozwiązanie podpunktu b)
Ze zbioru 4 cyfr (\(n=4) wybieramy \(4,3,2,1\) cyfry (\(k=4, k=3, k=2, k=1\)) aby utworzyć liczby czterocyfrowe, trzycyfrowe, dwucyfrowe i jednocyfrowe.
W każdym z przypadków (poza liczbami jednocyfrowymi) wybieramy dowolne cyfry, które mogą się powtarzać (np. \(1111\), \(1212\) itp.). Kolejność wyboru cyfr ma znaczenie, gdyż rozróżniają utworzone liczby (np. \(12\) i \(21\) oznaczają dwie różne liczby). W każdym z czterech przypadków tworzymy wariacji k-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.)
Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru:
Obliczamy więc czterokrotnie liczbę wariacji zgodnie z powyższym wzorem, a wynik otrzymamy sumując je.
\(W_{4}^4+W_{4}^3+W_4^2+W_4^1= 4^4+4^3+4^2+4^1=\)
\(=256+64+16+4=340\)
Rozwiązanie podpunktu c)
Ze zbioru 4 cyfr (n=4) wybieramy 4 cyfry (k=4) aby utworzyć liczby czterocyfrowe. Wybieramy dowolne cyfry, które mogą się powtarzać (np. 1111, 1212 itp.). Kolejność wyboru cyfr ma znaczenie, gdyż rozróżnia utworzone liczby (np. 1211 i 2111 oznaczają dwie różne liczby). Tworzymy wariacje 4-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego.
Musimy jeszcze wyeliminować przypadki, w którym cyfra 0 stoi na pierwszym miejscu (i kolejnych), gdyż wówczas nie otrzymujemy liczby czterocyfrowej. Ustawmy 0 na pierwszym miejscu i dobierzemy dowolne trzy cyfry na kolejnych miejscach. Zdarzy się też tutaj, że będą to liczby z dwoma, trzema cyframi na pierwszym miejscu, a także gdy będą to 4 zera, czyli liczba zero. Ile jest takich przypadków, gdy 0 stoi na pierwszym miejscu? Ponieważ kolejność cyfr ma znaczenie, cyfry mogą się powtarzać i wybieramy z czterech cyfr (n=4) trzy cyfry (k=3), tworzymy wariacje 3-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego. Wszystkie te wariacje trzeba odjąć od wariacji 4-elementowych z powtórzeniami zbioru czteroelementowego aby otrzymać żądany wynik.
Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru:
Zgodnie z powyższym wzorem oraz warunkami zadania mamy:
\(W_{4}^4-W_{4}^3=4^4-4^3=256-64=192\)
Odpowiedź
b) Z cyfr \(1,2,3,4\) można utworzyć \(340\) różnych liczb czterocyfrowych.
c) Z cyfr \(0,1,2,3\) można utworzyć \(192\) różne liczby czterocyfrowe.
© medianauka.pl, 2010-01-13, ZAD-511
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr \(1,2,3,4,5\)?
Zadanie nr 2.
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?
Zadanie nr 3.
Z ilu elementów składa się zbiór \(A\), jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?
Zadanie nr 4.
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?
Zadanie nr 5.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 6.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Zadanie nr 7.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 8.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 9.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 10.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Zadanie nr 12.
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?
Zadanie nr 13.
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?
Zadanie nr 14.
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?
Zadanie nr 15 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.
Zadanie nr 16 — maturalne.
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?
A. 100
B. 90
C. 45
D. 20
Zadanie nr 17 — maturalne.
Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa 30.
Zadanie nr 18 — maturalne.
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?
- 402
- 403
- 203
- 204
Zadanie nr 19 — maturalne.
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
Zadanie nr 20 — maturalne.
Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.
Zadanie nr 21 — maturalne.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest
A. 108
B. 60
C. 40
D. 299
Zadanie nr 22 — maturalne.
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest
A. 9·8·7·2
B. 9·10·10·1
C. 9·10·10·2
D. 9·9·8·1
Zadanie nr 23 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest
A. \(5^3\)
B. \(2\cdot 4^3\)
C. \(2\cdot 3^4\)
D. \(3^5\)