Zadanie - symbol Newtona, obliczenia

Treść zadania:

Obliczyć:

a) \({111\choose110}+{112\choose110}\)

b) \({95\choose 90}+{95\choose 91}\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Rozwiązanie podpunktu a)

Dla liczby naturalnej \(k\) oraz liczby całkowitej \(n\) nie mniejszej od \(k\) mamy:

\({n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

\({111\choose110}+{112\choose110}=\frac{111!}{110!(111-110)!}+\frac{112!}{110!(112-110)!}=\frac{111!}{110!1!}+\frac{112!}{110!2!}=\)

\(=\frac{\cancel{110!}\cdot 111}{\cancel{110!}}+\frac{\cancel{110!}\cdot 111 \cdot 112}{\cancel{110!}\cdot 2}=111+111\cdot 56=6327\)

Rozwiązanie podpunktu b)

Zachodzi własność, którą możemy wykorzystać w niniejszym zadaniu:

\({n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}\)

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

\({95\choose 90}+{95\choose 91}={96\choose 91}\)

Dla liczby naturalnej \(k\) oraz liczby całkowitej \(n\) nie mniejszej od \(k\) mamy:

\({n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:

\({96\choose 91}=\frac{96!}{91!(96-91)!}=\frac{96!}{91!5!}=\frac{\cancel{91!}\cdot 92\cdot 93\cdot 94 \cdot \cancel{95}^{19}\cdot \cancel{96}^4}{\cancel{91!}\cancel{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot \cancel{5}}=\)

\(=92\cdot 93\cdot 94 \cdot 19 \cdot 4 =61124064\)

ksiązki Odpowiedź

a) \({111\choose110}+{112\choose110}=6327\)
b)\({95\choose 90}+{95\choose 91}=61124064\)

© medianauka.pl, 2010-01-17, ZAD-519

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć

a) \({n+1\choose n-1}\)

b) \({\frac{1}{3}\choose 3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.