Zadanie - symbol Newtona
Treść zadania:
Obliczyć
a) \({n+1\choose n-1}\)
b) \({\frac{1}{3}\choose 3}\)
Rozwiązanie zadania
Podpunkt a)
Dla liczby naturalnej \(k\) oraz liczby całkowitej \(n\) nie mniejszej od \(k\) mamy:
Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać:
\({n+1\choose n-1}=\frac{(n+1)!}{(n-1)![n+1-(n-1)]!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n \cdot (n+1)}{(n-1)!(n+1-n+1)!}=\)
\(=\frac{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot (n+1)}{\cancel{(n-1)!}2!}=\frac{n(n+1)}{1\cdot 2}=\frac{n(n+1)}{2}\)
Podpunkt b)
Dla liczby naturalnej \(k\) oraz liczby rzeczywistej \(n\):
Wypiszemy wszystkie oznaczenia:
\(n=\frac{1}{3}\)
\(k=3\)
\(n-k+1=\frac{1}{3}-3+1=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}\)
Mamy więc:
\({\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)\cdot (\frac{1}{3}-2)}{3!}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3})\cdot (-\frac{5}{3})}{3!}=\frac{\frac{10}{27}}{1\cdot 2\cdot 3}=\)
\(=\frac{10}{27}\cdot \frac{1}{6}=\frac{\cancel{10}^5}{27}\cdot \frac{1}{\cancel{6}_3}=\frac{5}{81}\)
Odpowiedź
Odpowiedź do podpunktu a:
\({n+1\choose n-1}=\frac{n(n+1)}{2}\)
Odpowiedź do podpunktu b:
\({\frac{1}{3}\choose 3}=\frac{5}{81}\)
© medianauka.pl, 2010-01-17, ZAD-520
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć:
a) \({111\choose110}+{112\choose110}\)
b) \({95\choose 90}+{95\choose 91}\)