Zadanie - monotoniczność ciągu
Treść zadania:
Zbadać monotoniczność ciągu:
a) \(a_n=n^2-2\)
b) \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\)
Rozwiązanie zadania uproszczone
a)
Ciąg jest rosnący.
b)
Ponieważ znak różnicy kolejnych wyrazów ciągu zależy od n (o znaku decyduje potęga liczby -1), ciąg nie jest monotoniczny.
Rozwiązanie szczegółowe
Podpunkt a)
Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy an+1-an.
![a_n=n^2-2 \\ a_{n+1}=(n+1)^2-2=n^2+2n+1-2=n^2+2n-1 \\ a_{n+1}-a_n=n^2+2n-1-(n^2-2)=\\ =\cancel{n^2}+2n-1-\cancel{n^2}+2=2n+1>0](matematyka/wzory/zad135/2.gif)
Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, stąd 2n+1 musi być liczbą dodatnią.
Ponieważ każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego (tzn. an+1-an>0), to wykazaliśmy, że ciąg an=n2-2 jest rosnący.
Podpunkt b)
Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy an+1-an.
![a_n=\frac{(-1)^n}{n} \\ a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=\frac{(-1)^n\cdot (-1)^1}{n+1}=-\frac{(-1)^n}{n+1} \\ a_{n+1}-a_n=-\frac{(-1)^n}{n+1}-\frac{(-1)^n}{n}=-\frac{(-1)^n\cdot n}{(n+1)n}-\frac{(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=](matematyka/wzory/zad136/4.gif)
Sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik jednego ułamka przez mianownik drugiego ułamka. Teraz wyłączymy przed nawias czynnik -(-1)n
![=\frac{-(-1)^n\cdot n-(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=\frac{-(-1)^n(n+n+1)}{(n+1)n}=\\ =-(-1)^n\cdot \frac{(2n+1)}{(n+1)n}](matematyka/wzory/zad136/3.gif)
![tło](grafika/kolko2.jpg)
![tło](grafika/kolko3.jpg)
Musimy teraz przeanalizować znak wyrażenia. Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, stąd ułamek zaznaczony kolorem fioletowym musi być liczbą dodatnią. Pozostaje znak czynnika -(-1)^n. Gdy n jest parzyste otrzymujemy liczbę ujemna, gdy n jest nieparzyste otrzymujemy liczbę dodatnią.
Ponieważ znak różnicy an+1-an zależy od wartości n, to oznacza, że badany ciąg nie jest ciągiem rosnącym, malejącym, nierosnącym, niemalejącym ani stałym. Mamy więc do czynienia z ciągiem niemonotonicznym.
Odpowiedź
![a_n=n^2-2](matematyka/wzory/zad135/3.gif)
b) Ciąg
![a_n=\frac{(-1)^n}{n}](matematyka/wzory/zad136/5.gif)
© medianauka.pl, 2010-01-18, ZAD-525
![AI](matematyka/grafika/matura-z-matematyki-1.jpg)
![Zbiór zadań z matematyki](matematyka/grafika/zbior-zadan-1.jpg)
Zadania podobne
Zadanie nr 1.