Zadanie - badanie monotoniczności ciągów

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Podpunkt a)

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy \(a_{n+1}-a_n\). Obliczamy te wyrazy.

\(a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}=\frac{-(n-1)n}{-(n-2)}=\frac{(n-1)n}{n-2}=\frac{n^2-n}{n-2}\)

\(a_{n+1}=\frac{(n+1)[1-(n+1)]}{2-(n+1)}=\frac{(n+1)(1-n-1)}{2-n-1}=\frac{-n(n+1)}{-(n-1)}=\)

\(=\frac{n(n+1)}{n-1}=\frac{n^2+n}{n-1}\)

Badamy znak wspomnianej wyżej różnicy dwóch kolejnych wyrazów ciągu:

\(a_{n+1}-a_n=\frac{n^2+n}{n-1}-\frac{n^2-n}{n-2}=\frac{(n^2+n)(n-2)}{(n-1)(n-2)}-\frac{(n^2-n)(n-1)}{(n-1)(n-2)}=\)

\(=\frac{n^3-2n^2+n^2-2n}{(n-1)(n-2)}-\frac{n^3-n^2-n^2+n}{(n-1)(n-2)}=\frac{n^3-n^2-2n}{(n-1)(n-2)}-\frac{n^3-2n^2+n}{(n-1)(n-2)}=\)

\(=\frac{\cancel{n^3}-n^2-2n-\cancel{n^3}+2n^2-n}{(n-1)(n-2)}=\frac{n^2-3n}{(n-1)(n-2)}=\frac{n(n-3)}{(n-1)(n-2)}>0\)

Skąd wiemy, że ułamek jest dodatni? Pamiętajmy, że \(n\) oznacza liczbę naturalną, zgodnie z warunkami zadania większą lub równą 4. Zatem \(n>0, n-1>0, n-2>0, n-3>0\) oraz cały ułamek musi być liczbą dodatnią.

Ponieważ znak różnicy \(a_{n+1}-a_n\) nie zależy od wartości \(n\) i jest dodatni, to oznacza, że badany ciąg jest ciągiem rosnącym.

Podpunkt b)

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy \(a_{n+1}-a_n\). Oznacza to, że badamy różnicę między wyrazem następnym i poprzedzającym go. Równie dobrze możemy zbadać różnicę \(a_{n}-a_{n-1}\) gdyż nadal obliczamy różnicę dowolnych dwóch kolejnych wyrazów (podstawiając kolejne liczby naturalne zaczynając od liczby 2, badamy różnicę wyrazów drugiego i pierwszego, potem trzeciego i drugiego, czwartego i trzeciego i tak dalej). Ponieważ pierwszy wyraz ciągu jest dany i nie obliczamy go ze wzoru ogólnego, musimy dodatkowo sprawdzić znak różnicy wyrazów drugiego i pierwszego.

Dla \(n>2\) stosujemy wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz ciągu:

\(a_n=a_{n-1}-1\)

\(a_n-a_{n-1}=-1<0\)

Dla \(n=2\):

\(a_1=1\)

\(a_2=a_1-1=0\)

\(a_2-a_1=0-1=-1<0\)

Zatem różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna - ciąg jest malejący.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-19, ZAD-527

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne