Zadanie - ciąg, znajdowanie elementów ciągu
Treść zadania:
Napisać:
a) trzy początkowe wyrazy ciągu \(a_n=\frac{n[2-(-2)^{n+1}]}{n+1}\) oraz znaleźć dziewiąty wyraz tego ciągu.
b) pięć początkowych wyrazów ciągu \(\begin{cases}a_1=2 \\ a_2=4 \\ a_n=a_{n-2}+2a_{n-1}, \ dla \ n\geq 3 \end{cases}\)
Rozwiązanie zadania
Podpunkt a)
Dany jest ogólny wyraz ciągu:
\(a_n=\frac{n[2-(-2)^{n+1}]}{n+1}\)
W powyższym wzorze \(n\) oznacza liczbę naturalną. Aby znaleźć kolejne wyrazy ciągu, należy podstawić we wzorze za n kolejną liczbę naturalną.
\(a_1=\frac{1\cdot [2-(-2)^{1+1}]}{1+1}=\frac{2-4}{2}=-1\)
\(a_2=\frac{2\cdot [2-(-2)^{2+1}]}{2+1}=\frac{2(2+8)}{3}=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\)
\(a_3=\frac{3\cdot [2-(-2)^{3+1}]}{3+1}=\frac{3(2-16)}{4}=\frac{-42}{4}=-10\frac{1}{2}\)
\(a_9=\frac{9\cdot [2-(-2)^{9+1}]}{9+1}=\frac{9(2-1024)}{10}=\frac{-9198}{10}=-919\frac{4}{5}\)
Podpunkt b)
Ciąg został zdefiniowany poprzez wartości dwóch poprzednich wyrazów ciągu. Aby zatem znaleźć na przykład dziesiąty wyraz ciągu, musimy znać ósmy i dziewiąty wyraz ciągu. Pierwszy i drugi wyraz ciągu już mamy. Kolejne wyrazy obliczamy na podstawie wzoru ogólnego.
\(a_1=2\)
\(a_2=4\)
\(a_3=a_1+2a_2=2+2\cdot 4=10\)
\(a_4=a_2+2a_3=4+2\cdot 10=24\)
\(a_5=a_3+2a_4=10+2\cdot 24=58\)
© medianauka.pl, 2010-01-20, ZAD-528
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa
A. 14
B. 13
C. 9
D. 8
Zadanie nr 2 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2\) dla \(n\geq 1\). Różnica \(a_5-a_4\) jest równa
A. \(4\)
B. \(20\)
C. \(36\)
D. \(18\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{2n^2-30n}{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Wtedy \(a_7\) jest równy
A. (-196)
B. (-32)
C. (-26)
D. (-16)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2^n\cdot (n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyraz \(a_4\) jest równy
A. 64
B. 40
C. 48
D. 80