Zadanie - Równanie wielomianowe (algebraiczne)
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0\).
Rozwiązanie zadania
Musimy znaleźć pierwiastki powyższego wielomianu (oznaczmy go przez \(W(x)\)). Rozwiązujemy zatem równanie algebraiczne. Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:
\(W(1)=1^4+3\cdot 1^3+4\cdot 1^2+3\cdot\)
\( 1+1=1+3+4+3+1=12\neq 0\\ W(-1)=1-3+4-3+1=0\)
Znaleźliśmy jeden pierwiastek \(x_1=-1\). Teraz możemy w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielić wielomian \(W(x)\) przez wielomian \((x+1)\).
Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:
\((x+1)(x^3+2x^2+2x+1)=0\)
Rozkładamy dalej wielomian \(x^3+2x^2+2x+1\), oznaczmy go przez \(W_1(x)\) na czynniki tą samą metodą co wyżej.
\(W_1(1)=1^3+2\cdot 1^2+2\cdot 1+1=1+2+2+1=6\neq 0\)
\(W_1(-1)=-1+2-2+1=0\)
Wykonujemy więc dzielenie wielomianu \(W_1\)przez dwumian \(x+1\):
Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:
\((x+1)(x+1)(x^2+x+1)=0\)
\((x+1)^2(x^2+x+1)=0\)
Liczba -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\). Mamy jeszcze trójmian kwadratowy, który spróbujemy rozłożyć na czynniki, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(x^2+x+1\)
\(a=1,\ b=1,\ c=1\)
\(\Delta=b^2-4ac=1-4=-3<0\)
Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, zatem trójmian nie posiada pierwiastków. Stąd wniosek, że jedynym rozwiązaniem badanego równania jest liczba -1.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-22, ZAD-533
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).
Zadanie nr 2.
Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).
Zadanie nr 3.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).
Zadanie nr 4.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:
A. \(-1\)
B. \(21\)
C. \(1\)
D. \(-21\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:
A. -1
B. 1
C. 5
D. 10
Zadanie nr 15 — maturalne.
Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie nr 17 — maturalne.
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy
A. -3
B. 3
C. 0
D. 9
Zadanie nr 18 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba
A. 3
B. 2
C. \(\sqrt{3}\)
D. \(\sqrt{2}\)