Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(8x^3-10x^2+x+1=0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Trzeba znaleźć pierwiastki danego wielomianu (oznaczmy go przez \(W(x)\)), co oznacza, że rozwiązujemy równanie algebraiczne.

Pierwiastków szukamy najpierw pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb 1 i -1. Sprawdzamy, czy są to pierwiastki wielomianu poprzez zwykłe podstawienie:

\(W(1)=8\cdot 1^3+10\cdot 1^2+1+1=8-10+1+1=0\)

Wartość wielomianu dla \(x=1\) jest równa zeru, więc znaleźliśmy jeden pierwiastek \(x_1=1\). Teraz w celu znalezienia kolejnych pierwiastków podzielimy wielomian \(W(x)\) przez wielomian \((x-1)\). Wykonujemy dzielenie:

obliczenia

Reszta z dzielenia jest równa zero. Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:

\((x-1)(8x^2-2x-1)=0\)

Mamy jeszcze trójmian kwadratowy, który spróbujemy rozłożyć na czynniki, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(8x^2-2x-1\)

\(a=8,\ b=-2,\ c=-1\)

\(\Delta=b^2-4ac=4+32=36\)

\(\sqrt{\Delta}=6\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4}\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}\)

Trójmian kwadratowy ma 2 pierwiastki. Zatem badane równanie ma trzy rozwiązania.

ksiązki Odpowiedź

\(x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{4}, \ x_3=1\)

© medianauka.pl, 2010-01-22, ZAD-534

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie \(x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(3x^2=\frac{6}{x+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiązać równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:

A. \(-1\)

B. \(21\)

C. \(1\)

D. \(-21\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:

A. -1

B. 1

C. 5

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−7x^2−4x+28=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−5x^2−9x+45=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Rozwiąż równanie \((x^2− 1)(x^2−2x)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

A. -3

B. 3

C. 0

D. 9

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

A. 3

B. 2

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-12x+8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.