Zadanie - równanie algebraiczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(3x^2=\frac{6}{x+1}\).
Rozwiązanie zadania
Zaczniemy od określenia dziedziny równania. Ponieważ w mianowniku występuje wyraz \(x+1\), jego wartość musi być różna od zera.
\(x+1\neq 0\)
\(x\neq -1\)
Liczba -1 nie należy do zbioru rozwiązań powyższego równania. Przekształcimy je. Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę równania sprowadzamy je do wspólnego mianownika.
\(3x^2=\frac{6}{x+1}\)
\(3x^2-\frac{6}{x+1}=0\)
\(\frac{3x^2(x+1)}{x+1}-\frac{6}{x+1}=0\)
\(\frac{3x^2(x+1)-6}{x+1}=0\)
\(\frac{3x^3+3x^2-6}{x+1}=0\)
Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zero. Możemy więc napisać:
\(3x^3+3x^2-6=0/:3\)
\(x^3+x^2-2=0\)
Otrzymaliśmy równanie wielomianowe. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb: \(1, -1, 2, -2\). Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez \(W(x)\). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.
\(W(1)=1^3+1^2-2=0\)
\(W(-1)=-1+1-2\neq 0\)
\(W(2)=8+4-2\neq 0\)
\(W(-2)=-8+4-2\neq 0\)
Znaleźliśmy tylko jeden pierwiastek. Zgodnie z twierdzeniem Bezout liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-1\). Wykonujemy więc dzielenie:
Możemy więc zapisać:
\((x-1)(x^2+2x+2)=0\)
Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy trójmian kwadratowy, występujący w nawiasie sprowadzamy do postaci iloczynowej.
\(x^2+2x+2\)
\(a=1,\ b=1,\ c=2\)
\(\Delta=b^2-4ac=1-8<0\)
Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, trójmian nie ma pierwiastków.
Liczba 1 (należąca do dziedziny równania) jest jedynym rozwiązaniem równania.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-23, ZAD-536
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).
Zadanie nr 2.
Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).
Zadanie nr 3.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).
Zadanie nr 4.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:
A. \(-1\)
B. \(21\)
C. \(1\)
D. \(-21\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:
A. -1
B. 1
C. 5
D. 10
Zadanie nr 15 — maturalne.
Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie nr 17 — maturalne.
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy
A. -3
B. 3
C. 0
D. 9
Zadanie nr 18 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba
A. 3
B. 2
C. \(\sqrt{3}\)
D. \(\sqrt{2}\)