Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0\).
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia z równaniem wielomianowym. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb: \(1, -1, 2, -2\). Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez \(W(x)\). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.
\(W(1)=30-17+27-15-3+2=24\neq 0\)
\(W(-1)=-30-17-27-15+3+2=-84\neq 0\)
\(W(2)=30\cdot32-17\cdot 16+27\cdot 8-15\cdot 4-3\cdot 2+2=840\neq 0\)
\(W(-2)=-30\cdot32-17\cdot 16-27\cdot 8-15\cdot 4+3\cdot 2+2\neq 0\)
Niestety żaden z podzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu. Musimy szukać pierwiastków wśród ułamków, w czym pomoże nam niniejsze twierdzenie. wypisujemy więc wszystkie podzielniki wyrazu wolnego \(p\) i wszystkie podzielniki wyrazu stojącego przy \(x\) w najwyższej potędze, czyli liczby \(30\), a następnie wypisujemy wszystkie ułamki nieskracalne \(\frac{p}{q}\). Pierwiastków należy szukać wśród tych liczb.
\(p:1,-1,2,-2\)
\(q=1,-1,2,-2,3,-3,5,-5,6,-6,10,-10,15,-15,30,-30\)
\(\frac{p}{q}=\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5},-\frac{2}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{10},-\frac{1}{10},\frac{1}{15},-\frac{1}{15},\frac{2}{15},-\frac{2}{15},\frac{1}{30},-\frac{1}{30}\)
Mamy bardzo dużo możliwości, a wielomian \(W(x)\) jest w stopniu piątym. Rachunki będą uciążliwe. Spróbujemy więc najpierw obliczyć wartość wielomianu dla najmniejszych ułamków:
\(W(\frac{1}{2})=\ ^{15}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{32}_{16}}-17\cdot \frac{1}{16}+27\cdot \frac{1}{8}-15\cdot \frac{1}{4}-3\cdot \frac{1}{2}+2=\)
\(=\frac{15}{16}-\frac{17}{16}+\frac{54}{16}-\frac{60}{16}-\frac{24}{16}+\frac{32}{16}=0\)
\(W(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{16}-\frac{17}{16}-\frac{54}{16}-\frac{60}{16}+\frac{24}{16} +\frac{32}{16}=-\frac{90}{16}\neq 0\)
\(W(\frac{1}{3})=\ ^{10}\cancel{30}\cdot \frac{1}{\cancel{243}_{81}}-17\cdot \frac{1}{81}+27\cdot \frac{1}{27}-15\cdot \frac{1}{9}-3\cdot \frac{1}{3}+2=\)
\(=\frac{10}{81}-\frac{17}{81}+1-\frac{135}{81}-1+2\neq 0\)
\(W(-\frac{1}{3})=-\frac{10}{81}-\frac{17}{81}-\cancel{1}-\frac{135}{81}+\cancel{1}+2=-\frac{162}{81}+2=0\)
Znaleźliśmy dwa pierwiastki: \(\frac{1}{2}\) oraz \(-\frac{1}{3}\). Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba a jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-a\). Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez \(x-\frac{1}{2}\) oraz przez \(x+\frac{1}{3}\). Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.
\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}=x^2+\frac{2}{6}x-\frac{3}{6}x-\frac{1}{6}=x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}\)
Wykonujemy dzielenie:
Możemy więc zapisać:
\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(30x^3-12x^2+30x-12)=0\)
\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})\cdot 6(5x^3-2x^2+5x-2)=0/:6\)
\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(5x^3-2x^2+5x-2)=0\)
Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy tutaj wielomian trzeciego stopnia, występujący w nawiasie (oznaczmy go przez \(W_1(x)\)), który sprowadzamy do postaci iloczynowej, szukając pierwiastków wśród ułamków (mamy teraz mniejszą liczbę możliwych ułamków oraz łatwiejsze rachunki): \(\frac{1}{5}, -\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, -\frac{2}{5}\).
\(W_1(\frac{1}{5})=5\cdot\frac{1}{125}-\frac{2}{25}+1-2=\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1\neq 0\)
\(W_1(-\frac{1}{5})=-\frac{1}{25}-\frac{2}{25}-1-2\neq 0\)
\(W_1(\frac{2}{5})=5\cdot\frac{8}{125}-2\cdot \frac{4}{25}+5\cdot \frac{2}{5}-2=\frac{8}{25}-\frac{8}{25}+2-2=0\)
Mamy więc kolejny pierwiastek. Wykonujemy dzielenie wielomianu \(W_1(x)\) przez \(x-\frac{2}{5}\), zgodnie z twierdzenie Bezout.
Możemy więc zapisać:
\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(5x^2+5)=0\)
\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})\cdot 5(x^2+1)=0/:5\)
\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{2}{5})(x^2+1)=0\)
Dwumian kwadratowy w ostatnim nawiasie już się nie rozkłada na czynniki. Sprawdźmy:
\(x^2+1\)
\(a=1,\ b=0,\ c=1\)
\(\Delta=b^2-4ac=0-4<0\)
Ponieważ wyróżnik dwumianu kwadratowego jest ujemny, to nie ma pierwiastków. Analizowane równanie ma więc trzy rozwiązania:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-23, ZAD-537
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).
Zadanie nr 2.
Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).
Zadanie nr 3.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).
Zadanie nr 4.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:
A. \(-1\)
B. \(21\)
C. \(1\)
D. \(-21\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:
A. -1
B. 1
C. 5
D. 10
Zadanie nr 15 — maturalne.
Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie nr 17 — maturalne.
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy
A. -3
B. 3
C. 0
D. 9
Zadanie nr 18 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba
A. 3
B. 2
C. \(\sqrt{3}\)
D. \(\sqrt{2}\)