Nauka » Matematyka » Równanie wielomianowe

Zadanie - równanie algebraiczne (wielomianowe)

Treść zadania:

Rozwiązać równanie $30 x^{5} - 17 x^{4} + 27 x^{3} - 15 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .

Rozwiązanie zadania

Mamy do czynienia z równaniem wielomianowym. Rozwiązań szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb: $1, - 1, 2, - 2$ . Wyrażenie po lewej stronie równania oznaczymy przez $W (x)$ . Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

$W (1) = 30 - 17 + 27 - 15 - 3 + 2 = 24 \neq 0$

$W (- 1) = - 30 - 17 - 27 - 15 + 3 + 2 = - 84 \neq 0$

$W (2) = 30 \cdot 32 - 17 \cdot 16 + 27 \cdot 8 - 15 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 2 = 840 \neq 0$

$W (- 2) = - 30 \cdot 32 - 17 \cdot 16 - 27 \cdot 8 - 15 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 2 \neq 0$

Niestety żaden z podzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu. Musimy szukać pierwiastków wśród ułamków, w czym pomoże nam niniejsze twierdzenie. wypisujemy więc wszystkie podzielniki wyrazu wolnego $p$ i wszystkie podzielniki wyrazu stojącego przy $x$ w najwyższej potędze, czyli liczby $30$ , a następnie wypisujemy wszystkie ułamki nieskracalne $\frac{p}{q}$ . Pierwiastków należy szukać wśród tych liczb.

$p : 1, - 1, 2, - 2$

$q = 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 5, - 5, 6, - 6, 10, - 10, 15, - 15, 30, - 30$

$\frac{p}{q} = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}, \frac{1}{6}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{10}, - \frac{1}{10}, \frac{1}{15}, - \frac{1}{15}, \frac{2}{15}, - \frac{2}{15}, \frac{1}{30}, - \frac{1}{30}$

Mamy bardzo dużo możliwości, a wielomian $W (x)$ jest w stopniu piątym. Rachunki będą uciążliwe. Spróbujemy więc najpierw obliczyć wartość wielomianu dla najmniejszych ułamków:

$W (\frac{1}{2}) =^{15} 30 \cdot \frac{1}{32_{16}} - 17 \cdot \frac{1}{16} + 27 \cdot \frac{1}{8} - 15 \cdot \frac{1}{4} - 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 =$

$= \frac{15}{16} - \frac{17}{16} + \frac{54}{16} - \frac{60}{16} - \frac{24}{16} + \frac{32}{16} = 0$

$W (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{16} - \frac{17}{16} - \frac{54}{16} - \frac{60}{16} + \frac{24}{16} + \frac{32}{16} = - \frac{90}{16} \neq 0$

$W (\frac{1}{3}) =^{10} 30 \cdot \frac{1}{243_{81}} - 17 \cdot \frac{1}{81} + 27 \cdot \frac{1}{27} - 15 \cdot \frac{1}{9} - 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 =$

$= \frac{10}{81} - \frac{17}{81} + 1 - \frac{135}{81} - 1 + 2 \neq 0$

$W (- \frac{1}{3}) = - \frac{10}{81} - \frac{17}{81} - 1 - \frac{135}{81} + 1 + 2 = - \frac{162}{81} + 2 = 0$

Znaleźliśmy dwa pierwiastki: $\frac{1}{2}$ oraz $- \frac{1}{3}$ . Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba a jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $x - a$ . Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez $x - \frac{1}{2}$ oraz przez $x + \frac{1}{3}$ . Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.

$(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{3}) = x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{6} = x^{2} + \frac{2}{6} x - \frac{3}{6} x - \frac{1}{6} = x^{2} - \frac{1}{6} x - \frac{1}{6}$

Wykonujemy dzielenie:

obliczenia

Możemy więc zapisać:

$(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{3}) (30 x^{3} - 12 x^{2} + 30 x - 12) = 0$

$(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{3}) \cdot 6 (5 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 2) = 0 / : 6$

$(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{3}) (5 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 2) = 0$

Rozkładamy dalej lewą stronę równania na czynniki. Mamy tutaj wielomian trzeciego stopnia, występujący w nawiasie (oznaczmy go przez $W_{1} (x)$ ), który sprowadzamy do postaci iloczynowej, szukając pierwiastków wśród ułamków (mamy teraz mniejszą liczbę możliwych ułamków oraz łatwiejsze rachunki): $\frac{1}{5}, - \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$ .

$W_{1} (\frac{1}{5}) = 5 \cdot \frac{1}{125} - \frac{2}{25} + 1 - 2 = \frac{1}{25} - \frac{2}{25} - 1 \neq 0$

$W_{1} (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{25} - \frac{2}{25} - 1 - 2 \neq 0$

$W_{1} (\frac{2}{5}) = 5 \cdot \frac{8}{125} - 2 \cdot \frac{4}{25} + 5 \cdot \frac{2}{5} - 2 = \frac{8}{25} - \frac{8}{25} + 2 - 2 = 0$

Mamy więc kolejny pierwiastek. Wykonujemy dzielenie wielomianu $W_{1} (x)$ przez $x - \frac{2}{5}$ , zgodnie z twierdzenie Bezout.

obliczenia

Możemy więc zapisać:

$(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{2}{5}) (5 x^{2} + 5) = 0$

$(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{2}{5}) \cdot 5 (x^{2} + 1) = 0 / : 5$

$(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{2}{5}) (x^{2} + 1) = 0$

Dwumian kwadratowy w ostatnim nawiasie już się nie rozkłada na czynniki. Sprawdźmy:

$x^{2} + 1$

$a = 1, b = 0, c = 1$

$Δ = b^{2} - 4 a c = 0 - 4 < 0$

Ponieważ wyróżnik dwumianu kwadratowego jest ujemny, to nie ma pierwiastków. Analizowane równanie ma więc trzy rozwiązania:

Odpowiedź

x_{1} = - \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{2}{5}, x_{3} = \frac{1}{2}

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze $(\frac{1}{2})^{x - 1} - 2^{2 x} - 1 = 0$ .