Nauka » Matematyka » Nierówność wielomianowa

Zadanie - nierówność algebraiczna

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność \(\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0\).

Rozwiązanie zadania

Nierówność \(\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}>\) jest równoważna nierówności:

\((x-5)(x+2)(x-1)>0\)

Dlaczego? Zauważmy, że badamy znak wyrażenia z lewej strony nierówności (badamy dla jakich wartości x ułamek jest dodatni). Kreska ułamkowa zastępuje dzielenie. Jeżeli dzielimy przez siebie pewne liczby, to otrzymamy wynik, którego znak będzie taki sam, jakbyśmy te same liczby pomnożyli przez siebie.

Po lewej stronie nierówności mamy wielomian rozłożony na czynniki. Bezpośrednio więc z postaci iloczynowej wielomianu odczytujemy pierwiastki wielomianu: \(-2, 1\), i \(5\). Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

\(x\)	\((-\infty-2)\)	\(-2\)	\((-2;1)\)	\(1\)	\((1;5)\)	\(5\)	\((5;+\infty)\)
\(x-5\)	-	-	-	-	-	0	+
\(x-1\)	-	-	-	0	+	+	+
\(x+2\)	-	0	+	+	+	+	+
\(W(x)\)	-	0	+	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-2)\), niech to będzie \(-3\) i podstawmy do czynnika wielomianu \(x-5\) i otrzymujemy wynik \(-7\), a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Szukamy znaku wielomianu. Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek (np. dla pierwszej kolumny \((-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1\), więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(W(x)\) jest większy od zera.

Odpowiedź

\(x\in (-2;1)\cup (5,+\infty)\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),

b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność \((x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiąż nierówność: \(\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność \(\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.