Zadanie - suma i różnica wielomianów
Treść zadania:
Dane są wielomiany:
\(A(x)=ax^3-(a+1)^2(x-1)^2+ax+5a-7\)
\(B(x)=ax^4+(a-1)^2(x+1)^2-(a+1)x+7a+8\)
Znaleźć sumę wielomianów \(A(x)+B(x)\) oraz różnicę \(A(x)-B(x)\)
.
Rozwiązanie zadania
Doprowadzimy oba wielomiany do postaci zredukowanej i uporządkowanej. Zaczniemy od wielomianu \(A(x)\), korzystając przy tym ze wzorów skróconego mnożenia:
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(A(x)=ax^3-(a+1)^2(x-1)^2+ax+5a-7=\)
\(=ax^3-(a^2+2a+1)(x^2-2x+1)+ax+5a-7=\)
\(=ax^3-(a^2x^2-2a^2x+a^2+2ax^2-4ax+2a+x^2-2x+1)+\\ +ax+5a-7=\)
\(=ax^3-a^2x^2+2a^2x-a^2-2ax^2+4ax-2a-x^2+2x-1+ax+5a-7=\)
\(=ax^3+(-a^2-2a-1)x^2+(2a^2+5a+2)x-a^2+3a-8\)
Redukujemy i porządkujemy wielomian \(B(x)\):
\(B(x)=ax^4+(a-1)^2(x+1)^2-(a+1)x+7a+8=\)
\(=ax^4+(a^2-2a+1)(x^2+2x+1)-ax-x+7a+8=\)
\(=ax^4+a^2x^2+2a^2x+a^2-2ax^2-4ax-2a+x^2+2x+1-ax-x+7a+8=\)
\(= ax^4+(a^2-2a+1)x^2+(2a^2-5a+1)x+a^2+5a+9\)
Obliczamy sumę wielomianów dodając do siebie współczynniki przy zmiennej \(x\) o tej samej potędze, a następnie redukując wyrazy podobne.
\(A(x)+B(x)=ax^3+(-a^2-2a-1)x^2+(2a^2+5a+2)x-a^2+\)
\(3a-8+ax^4+(a^2-2a+1)x^2+(2a^2-5a+1)x+a^2+5a+9=\)
\(=ax^4+ax^3+(-a^2-2a-1+a^2-2a+1)x^2+\)
\(+(2a^2+5a+2+2a^2-5a+1)x-a^2+3a-8+a^2+5a+9=\)
\(=ax^4+ax^3-4ax^2+(4a^2+3)x+8a+1\)
W podobny sposób obliczamy różnicę wielomianów.
Obliczamy sumę wielomianów dodając do siebie współczynniki przy zmiennej \(x\) o tej samej potędze, a następnie redukując wyrazy podobne.
\(A(x)-B(x)=ax^3+(-a^2-2a-1)x^2+(2a^2+5a+2)x-a^2+\)
\(+3a-8-ax^4-(a^2-2a+1)x^2-(2a^2-5a+1)x-a^2-5a-9=\)
\(=-ax^4+ax^3+(-a^2-2a-1-a^2+2a-1)x^2+\)
\(+(2a^2+5a+2-2a^2+5a-1)x-a^2+3a-8-a^2-5a-9=\)
\(=-ax^4+ax^3+(-2a^2-2)x^2+(10a+1)x-2a^2-2a-17\)
© medianauka.pl, 2010-01-27, ZAD-546
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametrów \(a\), \(b\) i \(c\) suma wielomianów
\(A(x)=ax^3+(b-1)x^2+x-c^2-2c+1\)
\(B(x)=(a-2)x^3-(2b+1)x^2-x+c^2+c-1\)
jest równa jednomianowi zerowemu?