Zadanie - postać iloczynowa wielomianu

Treść zadania:

Wielomian \(W(x)\) dla \(x_1=-5, x_2=5\) ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie \(x=1\) jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wiemy, że wielomian ma trzy pierwiastki. Dwa z nich znamy: są to liczby \(5\) i \(-5\), gdyż z warunków zadania wynika, iż \(W(-5)=0\) i \(W(5)=0\). Oznaczmy trzeci z pierwiastków przez \(x_3\). Zgodnie z postacią iloczynową wielomianu możemy napisać:

\(W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)

\(a\in \mathbb{R}\)

\(a\neq 0\)

\(x_1=-5\)

\(x_2=5\)

\(W(x)=a(x+5)(x-5)(x-x_3)\)

Liczba \(a\) jest dowolną liczbą rzeczywistą, różną od zera. Z warunku zadania wynika, że dla \(x=1\) wartość wielomianu jest równa \(24\). Wykorzystamy to, podstawiając za \(x\) liczbę \(1\) i za \(W(x)\) liczbę \(24\).

\(x=1\)

\(W(1)=24\)

\(24=a(1+5)(1-5)(1-x_3)\)

\(a\cdot6\cdot (-4)(1-x_3)=24\)

\(-24a(1-x_3)=24/:(-24a)\)

\(1-x_3=-\frac{1}{a}\)

\(-x_3=-\frac{1}{a}-1/\cdot(-1)\)

\(x_3=\frac{1}{a}+1\)

\(x_3=\frac{a+1}{a}\)

Możemy więc napisać wzór wielomianu \(W(x)\):

\(W(x)=a(x-5)(x+5)(x-\frac{a+1}{a})\)

Jest to rozwiązanie naszego zadania. Zauważmy, że można utworzyć nieskończenie wiele wielomianów spełniających warunki zadania. Przykładem takiego wielomianu będzie:

\(W(x)=(x-5)(x+5)(x-2)\) lub \(W(x)=2(x-5)(x+5)(x-\frac{3}{2})\)

albo

\(W(x)=10000(x-5)(x+5)(x-\frac{10001}{10000})\).

ksiązki Odpowiedź

\(W(x)=a(x-5)(x+5)(x-\frac{a+1}{a}),\ a\in \mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace\)

© medianauka.pl, 2010-01-29, ZAD-548

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Wykonać mnożenie:

a) \((3x^3-x^2+2)(2x^2+x-1)\)

b) \([(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1]\)

i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej \(x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.