Zadanie — pierwiastek wielomianu
Treść zadania:
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Rozwiązanie zadania
Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) \(W(x)\) jest to taka liczba \(a\), że \(W(a)=0\).
Podstawiamy więc liczby: jeden i pierwiastek z dwóch do wielomianu za niewiadomą i sprawdzamy, czy jego wartość jest równa zeru.
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\)
\(W(1)=\sqrt{2}\cdot 1^5-2\cdot 1^4-\sqrt{2}\cdot 1^3+3\cdot 1^2-2\sqrt{2}\cdot 1+2=\)
\(=\cancel{\sqrt{2}}-2-\cancel{\sqrt{2}}+3-2\sqrt{2}+2=-2\sqrt{2}-3\neq 0\)
Liczba 1 nie jest więc pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), bo wartość wielomianu w tym punkcie nie jest zerem.
Sprawdźmy kolejną liczbę, pamiętając o działaniach na potęgach i pierwiastkach:
\(a^n\cdot a^m=a^{m+n}\)
\((a^n)^m=a^{m\cdot n}\)
\(W(\sqrt{2})=\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^5-2\cdot (\sqrt{2})^4-\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^3+3\cdot (\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+2=\)
\(=2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^5-2\cdot (2^{\frac{1}{2}})^4-2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^3+3\cdot 2-2\cdot 2+2=\)
\(=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-2\cdot 2^{\frac{4}{2}}-2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{3}{2}}+6-4+2=\)
\(=2^{\frac{6}{2}}-2\cdot 2^2-2^{\frac{4}{2}}+4=2^3-2\cdot 4-2^2+4=8-8-4+4=0\)
Pierwiastek z dwóch jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-557
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)
Zadanie nr 2.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)
Zadanie nr 3.
Uprościć wyrażenie:
\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)
Zadanie nr 4.
Oblicz:
\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia:
\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)
Zadanie nr 6.
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)
Zadanie nr 7.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:
\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)
Zadanie nr 8.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).
Zadanie nr 9.
Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B. \(-\frac{3}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{3}{5}\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f(\frac{1}{2})\) jest równa.
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(3\)
D. \(17\)