Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki

Treść zadania:

Rozłożyć na czynniki wielomian:

a) \(W(x)=2x^6-50x^4\)

b) \(W(x)=x^8-1\)

c) \(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2\)

d) \(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Podpunkt a)

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej

W tym przypadku można wyjąć przed nawias czynnik \(2x^4\) i otrzymujemy odpowiedź:

\(W(x)=2x^6-50x^4=2x^4(x^2-25)=2x^4(x-5)(x+5)\)

W ostatnim kroku zastosowano wzór skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

Podpunkt b)

W tym przypadku najlepiej skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia (kolorem niebieskim w rachunkach zaznaczymy fragmenty, w których skorzystamy z tego wzoru):

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

Otrzymamy:

\(W(x)=x^8-1=(x^4)^2-1=(x^4-1)(x^4+1)=\)

\(=[(x^2)^2-1](x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=\)

\(=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\)

Jednomian \(x^2+1\) oraz \(x^4+1\) już się nie rozkładają na czynniki (nie mają pierwiastków). Gdyby jednomiany miały pierwiastki, to kwadrat tej liczby i czwarta potęga musiałyby być ujemne, aby cała wartość jednomianów była równa zeru, a to niemożliwe. Można się też o tym przekonać, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego w przypadku pierwszego jednomianu (wyróżnik jest ujemny), a w przypadku drugiego jednomianu zastosować podstawienie \(x^2=t\) i również obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego, który okaże się też ujemny.

Podpunkt c)

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: \(1, -1, 2, -2\) nie da efektu. Spróbujemy pogrupować wyrazy.

\(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2}{\sqrt{2}})=\)

\(=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}})=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{\cancel{2}\sqrt{2}}{\cancel{2}})=\)

\(=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\sqrt{2})=(x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2})

Dwumian w ostatnim nawiasie już się dalej nie rozkłada na czynniki. Dla pewności można policzyć wyróżnik: \(\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot \sqrt{2}< 0\).

Podpunkt d)

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: \(1, -1, 5, -5\).

\(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)

\(W(1)=1-11+35-25=0\)

\(W(-1)=-1-11-35-25=-72\neq 0\)

\(W(5)=125-275+175-25=0\)

\(W(-5)=125-275-175-25\neq 0\)

Mamy więc dwa pierwiastki: \(1\) i \(5\). Zgodnie z twierdzeniem Bezout wielomian dzieli się więc bez reszty przez \((x-1)(x-5)\):

obliczenia

Możemy więc zapisać:

\(W(x)=x^3-11x^2+35x-25=(x-1)(x-5)^2\):

\(W(x)=x^3-11x^2+35x-25=(x-1)(x-5)^2\).


© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-559

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozłożyć wielomian:

a) \(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4\)

b) \(W(x)=-x^3+x^2+x-1\)

na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozłożyć wielomian \(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\) na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez

A. \(x-3\)

B. \(x^2+9\)

C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)

D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.