Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Treść zadania:
Rozłożyć na czynniki wielomian:
a) \(W(x)=2x^6-50x^4\)
b) \(W(x)=x^8-1\)
c) \(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2\)
d) \(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)
Rozwiązanie zadania
Podpunkt a)
Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej
W tym przypadku można wyjąć przed nawias czynnik \(2x^4\) i otrzymujemy odpowiedź:
\(W(x)=2x^6-50x^4=2x^4(x^2-25)=2x^4(x-5)(x+5)\)
W ostatnim kroku zastosowano wzór skróconego mnożenia:
Podpunkt b)
W tym przypadku najlepiej skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia (kolorem niebieskim w rachunkach zaznaczymy fragmenty, w których skorzystamy z tego wzoru):
Otrzymamy:
\(W(x)=x^8-1=(x^4)^2-1=(x^4-1)(x^4+1)=\)
\(=[(x^2)^2-1](x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=\)
\(=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\)
Jednomian \(x^2+1\) oraz \(x^4+1\) już się nie rozkładają na czynniki (nie mają pierwiastków). Gdyby jednomiany miały pierwiastki, to kwadrat tej liczby i czwarta potęga musiałyby być ujemne, aby cała wartość jednomianów była równa zeru, a to niemożliwe. Można się też o tym przekonać, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego w przypadku pierwszego jednomianu (wyróżnik jest ujemny), a w przypadku drugiego jednomianu zastosować podstawienie \(x^2=t\) i również obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego, który okaże się też ujemny.
Podpunkt c)
Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: \(1, -1, 2, -2\) nie da efektu. Spróbujemy pogrupować wyrazy.
\(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2}{\sqrt{2}})=\)
\(=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}})=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{\cancel{2}\sqrt{2}}{\cancel{2}})=\)
\(=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\sqrt{2})=(x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2})
Dwumian w ostatnim nawiasie już się dalej nie rozkłada na czynniki. Dla pewności można policzyć wyróżnik: \(\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot \sqrt{2}< 0\).
Podpunkt d)
Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: \(1, -1, 5, -5\).
\(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)
\(W(1)=1-11+35-25=0\)
\(W(-1)=-1-11-35-25=-72\neq 0\)
\(W(5)=125-275+175-25=0\)
\(W(-5)=125-275-175-25\neq 0\)
Mamy więc dwa pierwiastki: \(1\) i \(5\). Zgodnie z twierdzeniem Bezout wielomian dzieli się więc bez reszty przez \((x-1)(x-5)\):
Możemy więc zapisać:
\(W(x)=x^3-11x^2+35x-25=(x-1)(x-5)^2\):
\(W(x)=x^3-11x^2+35x-25=(x-1)(x-5)^2\).
© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-559
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozłożyć wielomian:
a) \(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4\)
b) \(W(x)=-x^3+x^2+x-1\)
na czynniki metodą grupowania wyrazów.
Zadanie nr 2.
Rozłożyć wielomian \(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\) na czynniki.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez
A. \(x-3\)
B. \(x^2+9\)
C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)
D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)