Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Treść zadania:
Rozłożyć wielomian \(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\) na czynniki.
Rozwiązanie zadania
Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.
Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: \(1, -1, 2, -2, 4, -4\). Liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) jeśli \(W(a)=0\). Sprawdźmy więc:
\(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\)
\(W(1)=8-2-33+8+4=-15\neq 0\)
\(W(-1)=8\cdot (-1)^4-2\cdot (-1)^3-33\cdot (-1)^2+8\cdot (-1)+4=\)
\(=8+2-33-8+4=-27\neq 0\)
\(W(2)=8\cdot 2^4-2\cdot 2^3-33\cdot 2^2+8\cdot 2+4=\)
\(=8128-16-132+16+4=0\)
\(W(-2)=8\cdot (-2)^4-2\cdot (-2)^3-33\cdot (-2)^2+8\cdot (-2)+4=\)
\(=128+16-132-16+4=0\)
\(W(4)=8\cdot 4^4-2\cdot 4^3-33\cdot 4^2+8\cdot 4+4=\)
\(=2048-128-528+32+4=1428\neq 0\)
\(W(-4)=8\cdot (-4)^4-2\cdot (-4)^3-33\cdot (-4)^2+8\cdot (-4)+4=\)
\(=2048+128-528-32+4\neq 0\)
Zatem liczby \(2\) i \(-2\) są pierwiastkami wielomianu. Zgodnie z twierdzenie Bezout, wielomian \(W(x)\) dzieli się więc przez \(x+2\) oraz \(x-2\). Wielomian ten dzieli się także przez iloczyn tych dwumianów \((x-2)(x+2)=x^2-4\).
Możemy więc zapisać:
\(W(x)=(x-2)(x+2)(8x^2-2x-1)\)
Rozłożymy jeszcze trójmian kwadratowy \(8x^2-2x-1\) na czynniki, obliczając wyróżnik trójmianu:
\(8x^2-2x-1\)
\(a=8,\ b=-2,\ c=-1\)
\(\Delta=b^2-4ac=4+32=36\)
\(\sqrt{\Delta}=6\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}\)
\(8x^2-2x-1=8(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4})\)
Odpowiedź
\(=8(x-2)(x+2)(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4})\)
© medianauka.pl, 2010-01-31, ZAD-563
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozłożyć na czynniki wielomian:
a) \(W(x)=2x^6-50x^4\)
b) \(W(x)=x^8-1\)
c) \(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2\)
d) \(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)
Zadanie nr 2.
Rozłożyć wielomian:
a) \(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4\)
b) \(W(x)=-x^3+x^2+x-1\)
na czynniki metodą grupowania wyrazów.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez
A. \(x-3\)
B. \(x^2+9\)
C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)
D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)