Zadanie - równanie okręgu
Treść zadania:
Rozwiązać graficznie równanie \(x^2+y^2+4x+6y+9=0\).
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia z równaniem algebraicznym (wielomianowym) z dwoma niewiadomymi. Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb. Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.
Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:
Pogrupujmy wyrazy:
\((x^2+4x)+(y^2+6y)+9=0\)
\((x^2+2\cdot 2x)+(y^2+2\cdot 3y)+9=0\)
Aby zastosować wyżej wymieniony wzór skróconego mnożenia brakuje nam jeszcze liczb: w pierwszym nawiasie \(2^2\) i w drugim nawiasie \(3^2=9\). Dodajmy je więc do lewej strony równania, a żeby otrzymać równanie równoważne, odejmijmy te same liczby pod lewej strony równania:
\((x^2+2\cdot 2x+2^2)+(y^2+2\cdot 3y+3^2)+9-4-9=0\)
\((x+2)^2+(y+3)^2=4\)
\([x-(-2)]^2+[y-(-3)]^2=2^2\)
Otrzymaliśmy równanie w postaci:
\((p,q)\) - współrzędne środka okręgu o promieniu \(r\). Porównując ten wzór do naszego równania, odczytujemy:
\(p=-2\)
\(q=-3\)
\(S=(-2,-3)\)
\(r=2\)
Sporządzamy wykres:
Wykres ten jest graficznym rozwiązaniem równania.
© medianauka.pl, 2010-02-01, ZAD-567
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
Zadanie nr 4.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Zadanie nr 5.
Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. \(A=(-1, 7)\)
B. \(B=(2, 3)\)
C. \(C=(3, 2)\)
D. \(D=(5, 3)\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać
A. \(x^2+y^2=200\)
B. \(x^2+y^2=100\)
C. \(x^2+y^2=400\)
D. \(x^2+y^2=300\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.