Zadanie - równanie okręgu

Treść zadania:

Rozwiązać graficznie równanie \(x^2+y^2+4x+6y+9=0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy do czynienia z równaniem algebraicznym (wielomianowym) z dwoma niewiadomymi. Wykresem takiego równania może być okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. Równanie może też nie mieć rozwiązania lub może spełniać je para liczb. Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu xy, a obie niewiadome występują w drugiej potędze, prawdopodobnie wykresem tego równania będzie okrąg. Trzeba jednak przekształcić powyższe równanie do postaci kanonicznej.

Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

Pogrupujmy wyrazy:

\((x^2+4x)+(y^2+6y)+9=0\)

\((x^2+2\cdot 2x)+(y^2+2\cdot 3y)+9=0\)

Aby zastosować wyżej wymieniony wzór skróconego mnożenia brakuje nam jeszcze liczb: w pierwszym nawiasie \(2^2\) i w drugim nawiasie \(3^2=9\). Dodajmy je więc do lewej strony równania, a żeby otrzymać równanie równoważne, odejmijmy te same liczby pod lewej strony równania:

\((x^2+2\cdot 2x+2^2)+(y^2+2\cdot 3y+3^2)+9-4-9=0\)

\((x+2)^2+(y+3)^2=4\)

\([x-(-2)]^2+[y-(-3)]^2=2^2\)

Otrzymaliśmy równanie w postaci:

\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)

\((p,q)\) - współrzędne środka okręgu o promieniu \(r\). Porównując ten wzór do naszego równania, odczytujemy:

\(p=-2\)

\(q=-3\)

\(S=(-2,-3)\)

\(r=2\)

Sporządzamy wykres:

Okrąg w układzie współrzędnych

Wykres ten jest graficznym rozwiązaniem równania.


© medianauka.pl, 2010-02-01, ZAD-567

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać graficznie równanie \(xy-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie równanie \(2x^2+y+x-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. \(A=(-1, 7)\)

B. \(B=(2, 3)\)

C. \(C=(3, 2)\)

D. \(D=(5, 3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać

A. \(x^2+y^2=200\)

B. \(x^2+y^2=100\)

C. \(x^2+y^2=400\)

D. \(x^2+y^2=300\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.