Zadanie - układ równań drugiego stopnia
Treść zadania:
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)
Rozwiązanie zadania
Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres obu równań. Pierwsze równanie jest równaniem okręgu. Ma ono postać:
(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu \(r\).
Wykresem równania \((x-2)^2+(y-2)^2=1\) jest okrąg o środku w punkcie \(S=(2,2)\) i o promieniu \(r=1\).
Jeżeli chodzi o drugie równanie, to jego wykresem jest prosta. Poniżej tabelka zmienności funkcji (wystarczą dwa punkty):
| x | 0 | 1 |
| y | 1 | 2 |
Wykreślamy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich punkty wspólne, które stanowią rozwiązanie graficzne układu.
Dlaczego punkty wspólne są rozwiązaniem układu? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty prostej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla obu wykresów spełniają zarówno pierwsze jak i drugie równanie. Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku są to punkty \(A=(1,2)\) i \(B=(2,3)\). Mimo, iż określiliśmy współrzędne punktów, stanowiących rozwiązanie układu w metodzie graficznej, jest to jednak jedynie przybliżone rozwiązanie. Nie można w ten sposób dokładnie określić współrzędnych. Niemniej jednak bardzo często rozwiązanie graficzne pomaga w znalezieniu wyniku za pomocą rachunków. Znajdźmy to rozwiązanie.
Stosujemy metodę podstawienia:
\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)
\((x-2)^2+(x+1-2)^2=1\)
\((x-2)^2+(x-1)^2=1\)
\(x^2-4x+4+x^2-2x+1-1=0\)
\(2x^2-6x+4=0/:2\)
\(x^2-3x+2=0\)
\(a=1,\ b=-3,\ c=2\)\
\(\Delta=b^2-4ac=9-8=1\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-1}{2}=1\)
\( x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+1}{2}=2\)
Wyznaczyliśmy z pierwszego równania x, otrzymując dwa rozwiązania. Mamy więc teraz dwa układy:
\(\begin{cases}x=1\\y=x+1\end{cases} \vee \begin{cases}x=2\\y=x+1\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=1\\y=1+1\end{cases} \vee \begin{cases}x=2\\y=2+1\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases} \vee \begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\)
Zauważmy, że są to współrzędne punktów przecięcia się wykresów równań układu.
© medianauka.pl, 2010-02-04, ZAD-575
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)
Zadanie nr 2.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać graficznie układ równań:
\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)
Zadanie nr 5.
Dla jakich wartości parametru m układ równań:
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?
Zadanie nr 6.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)
Zadanie nr 7.
Rozwiązać graficznie układy nierówności:
a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)
Zadanie nr 8.
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)
Zadanie nr 9.
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).
Zadanie nr 10 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.