Zadanie - układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Treść zadania:
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
Rozwiązanie zadania
Podpunkt a)
Rozwiążemy najpierw układ równań graficznie. Sporządzimy wykres trzech równań w jednym układzie współrzędnych:
Wykresem pierwszego równania jest okrąg o środku w punkcie \(S=(-1,-1)\) i promieniu o długości \(2\), zgodnie z równaniem okręgu:
gdzie \(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu, a \(r\) długością promienia.
Wykresem drugiego równania jest prosta równoległa do osi \(OX\), przecinająca oś \(OY\) w punkcie \((0,1)\).
Wykresem trzeciego równania jest prosta równoległa do osi \(OY\), przecinająca oś \(OX\) w punkcie \((3,0)\).
Wykreślamy wykresy w jednym układzie współrzędnych.
Punkty wspólne stanowią graficzne rozwiązanie układu równań. Dlaczego? Otóż wszystkie punkty okręgu spełniają pierwsze równanie układu, punkty należące do prostej poziomej spełniają drugie równanie, punkty należące do prostej pionowej spełniają drugie równanie, natomiast te punkty, które są wspólne dla trzech wykresów spełniają zarówno pierwsze, drugie jak i trzecie równanie Dlatego stanowią rozwiązanie układu. W naszym przypadku nie ma takich punków, które jednocześnie należałyby do wszystkich wykresów. Układ równań nie ma rozwiązania. Na rysunku widać punkty wspólne dla co najwyżej dwóch wykresów.
Przeprowadźmy teraz rachunki. Ponieważ mamy już wyznaczone wartości x oraz y, wystarczy sprawdzić, czy dla tych wartości zmiennych pierwsze równanie jest prawdziwe. Dokonujemy więc podstawienia:
\(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
\((3+1)^2+(1+1)^2=4\)
\(16+4=4\)
\(20=4\)
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, stąd wniosek, że układ ten nie ma rozwiązań.
Podpunkt a)
Podobnie jak poprzednio rozwiążemy najpierw układ równań graficznie.
Sporządzimy wykres trzech równań z układu.
Wykresem pierwszego równania jest okrąg o środku w punkcie \(S=(1,1)\) i promieniu o długości \(2\).
Wykresem drugiego równania jest prosta równoległa do osi \(OX\), przecinająca oś \(OY\) w punkcie \((0,1)\).
Wykresem trzeciego równania jest prosta równoległa do osi \(OY\), przecinająca oś \(OX\) w punkcie \((3,0)\).
Wykreślamy wykresy w jednym układzie współrzędnych.
Punkty wspólne stanowią graficzne rozwiązanie układu równań. Dlaczego? Wyjaśniliśmy to w podpunkcie a). W naszym przypadku jest jeden taki punkt \(A=(3,1)\), które jednocześnie należy do wszystkich wykresów.
Przeprowadźmy teraz rachunki. Ponieważ mamy już wyznaczone wartości \(x\) oraz \(y\), wystarczy sprawdzić, czy dla tych wartości zmiennych pierwsze równanie jest prawdziwe. Dokonujemy więc podstawienia:
\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
\((3-1)^2+(1-1)^2=4\)
\(4+0=4\)
\(4=4\)
Otrzymaliśmy równanie tożsamościowe, stąd wniosek, że \(A=(3,1)\) jest rozwiązaniem układu.
Odpowiedź
b) Układ równań posiada jedno rozwiązanie, którego graficzną interpretacją jest punkt \(A=(3,1)\).
© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-578
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)
Zadanie nr 2.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać graficznie układ równań:
\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)
Zadanie nr 5.
Dla jakich wartości parametru m układ równań:
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?
Zadanie nr 6.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)
Zadanie nr 7.
Rozwiązać graficznie układy nierówności:
a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)
Zadanie nr 8.
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)
Zadanie nr 9.
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).
Zadanie nr 10 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.