Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Treść zadania:
Dla jakich wartości parametru m układ równań:
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?
Rozwiązanie zadania
Zastosujemy metodę podstawienia. Drugie równanie wstawiamy do pierwszego:
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)
\(x^2+(3x+m)^2=4\)
\(x^2+9x^2+6mx+m^2-4=0\)
\(10x^2+6mx+m^2-4=0\)
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu:
\(10x^2+6mx+m^2-4\)
\(a=10,\ b=6m,\ c=m^2-4\)
\(\Delta=b^2-4ac=(6m)^2-4\cdot 10\cdot (m^2-4)=\)
\(=36m^2-40m^2+160=-4m^2+160\)
Jeżeli wyróżnik jest ujemny, wówczas równanie nie posiada rozwiązań, jeśli jest równy zeru, posiada jedno rozwiązanie, jeśli jest większe od zera, posiada dwa rozwiązania. Ponieważ drugim równaniem układu równań jest funkcja liniowa, tyle ile posiada rozwiązań pierwsze równanie, tyle będzie posiadał rozwiązań układ równań. Zatem:
Układ nie posiada rozwiązań, jeśli:
\(\Delta<0\)
\(-4m^2+160< 0/:(-4)\)
\(m^2-40>0\)
\((m-\sqrt{40})(m+\sqrt{40})>0\)
\((m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})>0\)
\(2\sqrt{10}\approx 6,3\)
\(m\in (-\infty; -2\sqrt{10})\cup (2\sqrt{10}; +\infty)\)
Układ posiada jedno rozwiązanie, jeśli:
\(\Delta=0\)
\(-4m^2+160=0\)
\((m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})=0\)
\(m_1=2\sqrt{10},\ m_2=-2\sqrt{10}\)
Układ posiada dwa rozwiązania, jeśli:
\(\Delta>0\)
\(-4m^2+160> 0/:(-4)\)
\((m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})<0\)
\(2\sqrt{10}\approx 6,3\)
\(m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})\)
Ponadto nie ma takiej wartości parametru \(m\), dla której układ równań mógł mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Można to wywnioskować w następujący sposób: wykresem pierwszego równania jest okrąg, wykresem drugiego równania jest prosta. Rozwiązaniem układu jest zbiór punktów wspólnych obu wykresów. Możliwe są jednak tylko przypadki, w których wykresy nie mają punktów wspólnych, wykresy maja jeden punkt wspólny (prosta jest styczna do okręgu) i wykresy mogą mieć dwa wspólne punkty (gdy prosta przecina okrąg). Więcej przypadków nie ma.
Odpowiedź
a) nie ma rozwiązania dla \(m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})\),
b) posiada jedno rozwiązanie dla \(m=2\sqrt{10}\) lub \(m=-2\sqrt{10}\),
c) posiada dwa rozwiązania dla \(m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})\).
d) Nie ma takiej wartości parametru \(m\), dla której układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-581
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)
Zadanie nr 2.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać graficznie układ równań:
\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)
Zadanie nr 6.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)
Zadanie nr 7.
Rozwiązać graficznie układy nierówności:
a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)
Zadanie nr 8.
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)
Zadanie nr 9.
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).
Zadanie nr 10 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.