Zadanie - Układ równań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi

Treść zadania:

Dla jakich wartości parametru m układ równań:

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)

a) nie posiada rozwiązań

b) posiada jedno rozwiązanie

c) posiada dwa rozwiązania

d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Zastosujemy metodę podstawienia. Drugie równanie wstawiamy do pierwszego:

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)

\(x^2+(3x+m)^2=4\)

\(x^2+9x^2+6mx+m^2-4=0\)

\(10x^2+6mx+m^2-4=0\)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu:

\(10x^2+6mx+m^2-4\)

\(a=10,\ b=6m,\ c=m^2-4\)

\(\Delta=b^2-4ac=(6m)^2-4\cdot 10\cdot (m^2-4)=\)

\(=36m^2-40m^2+160=-4m^2+160\)

Jeżeli wyróżnik jest ujemny, wówczas równanie nie posiada rozwiązań, jeśli jest równy zeru, posiada jedno rozwiązanie, jeśli jest większe od zera, posiada dwa rozwiązania. Ponieważ drugim równaniem układu równań jest funkcja liniowa, tyle ile posiada rozwiązań pierwsze równanie, tyle będzie posiadał rozwiązań układ równań. Zatem:

Układ nie posiada rozwiązań, jeśli:

\(\Delta<0\)

\(-4m^2+160< 0/:(-4)\)

\(m^2-40>0\)

\((m-\sqrt{40})(m+\sqrt{40})>0\)

\((m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})>0\)

\(2\sqrt{10}\approx 6,3\)

Rysunek pomocniczy

\(m\in (-\infty; -2\sqrt{10})\cup (2\sqrt{10}; +\infty)\)

Układ posiada jedno rozwiązanie, jeśli:

\(\Delta=0\)

\(-4m^2+160=0\)

\((m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})=0\)

\(m_1=2\sqrt{10},\ m_2=-2\sqrt{10}\)

Układ posiada dwa rozwiązania, jeśli:

\(\Delta>0\)

\(-4m^2+160> 0/:(-4)\)

\((m-2\sqrt{10})(m+2\sqrt{10})<0\)

\(2\sqrt{10}\approx 6,3\)

Rysunek pomocniczy

\(m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})\)

Ponadto nie ma takiej wartości parametru \(m\), dla której układ równań mógł mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Można to wywnioskować w następujący sposób: wykresem pierwszego równania jest okrąg, wykresem drugiego równania jest prosta. Rozwiązaniem układu jest zbiór punktów wspólnych obu wykresów. Możliwe są jednak tylko przypadki, w których wykresy nie mają punktów wspólnych, wykresy maja jeden punkt wspólny (prosta jest styczna do okręgu) i wykresy mogą mieć dwa wspólne punkty (gdy prosta przecina okrąg). Więcej przypadków nie ma.

ksiązki Odpowiedź

Układ równań:
a) nie ma rozwiązania dla \(m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})\),
b) posiada jedno rozwiązanie dla \(m=2\sqrt{10}\) lub \(m=-2\sqrt{10}\),
c) posiada dwa rozwiązania dla \(m\in (-2\sqrt{10} ; 2\sqrt{10})\).
d) Nie ma takiej wartości parametru \(m\), dla której układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-581

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać graficznie układ równań:

\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać graficznie układy nierówności:

a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać graficznie układ nierówności:

\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).

Figura w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).

zadanie 13, matura rozszerzona 2023, matematyka

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.