Zadanie - układ równiań II-go stopnia z dwiema niewiadomymi
Treść zadania:
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)
Rozwiązanie zadania
Rozpoczniemy od graficznego rozwiązania układu. W tym celu musimy narysować wykresy obu równań w jednym układzie współrzędnych i znaleźć punkty wspólne obu wykresów, które będą spełniać oba równania, a co za tym idzie stanowiły rozwiązanie układu równań
Zacznijmy od pierwszego równania. Jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola. Znajdujemy pierwiastki i współrzędne wierzchołka paraboli:
\(y=\frac{1}{4}x^2-x+1\)
\(a=\frac{1}{4},\ b=-1,\ c=1\)
\(\Delta=b^2-4ac=1-4\cdot \frac{1}{4}=0\)
\(x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)
Współrzędne wierzchołka obliczamy ze wzoru:
\(y_w=-\frac{\Delta}{2a}\)
Podstawiamy odpowiednie wartości:
\(x_w=x_0=2\)
\(y_w=-\frac{0}{4\cdot \frac{1}{4}}=0\)
Ponieważ mamy dopiero jeden punkt paraboli, znajdźmy jeszcze punkt przecięcia się wykresu z osią \(OY\), podstawiając do równania za \(x\) liczbę zero. Ponieważ parabola jest symetryczna, znajdziemy łatwo trzeci punkt paraboli.
\(f(0)=y=\frac{1}{4}\cdot 0-0+1=1\)
Można sporządzić wykres paraboli, wcześniej jednak zajmijmy się drugim równaniem.
Drugie równanie jest w postaci:
\(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu \(r\). Nasze równanie opisuje więc okrąg o środku w punkcie \(S=(2,2)\) i promieniu \(r=2\).
Sporządzamy wykresy i zaznaczamy ich wspólne części:
Układ równań wydaje się mieć (rozwiązanie graficzne jest zawsze rozwiązaniem przybliżonym) jedno rozwiązanie: \(A=(2,0)\). Sprawdzimy to, rozwiązując układ równań metodą podstawienia.
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)
\((x-2)^2+(\frac{1}{4}x^2-x+1-2)^2=4\)
\((x-2)^2+[\frac{1}{4}x^2-(x+1)]^2=4\)
\(x^2-4x+\cancel{4}+\frac{1}{16}x^4-2\cdot \frac{1}{4}x^2(x+1)+(x+1)^2-\cancel{4}=0\)
\(x^2-4x+\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x^2+x^2+2x+1=0\)
\(\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2-2x+1=0/\cdot 16\)
\(x^4-8x^3+24x^2-32x+16=0\)
Otrzymaliśmy równanie wielomianowe. Pierwiastków szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc pośród liczb: \(-1, 1, 2, -2, ...\). Oznaczamy lewą stronę równania przez W(x) i szukamy miejsca zerowego:
\(W(1)=1-8+24-32+16=1\neq 0\)
\(W(-1)=1+8+24+32+16\neq 0\)
\(W(2)=2^4-8\cdot 2^3+24\cdot 2^2-32\cdot 2+16=16-64+96-64+16=0\)
Zgodnie z twierdzeniem Bezout nasz wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian \(x-2\). Wykonujemy więc dzielenie wielomianów:
Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:
\((x-2)(x^3-6x^2+12x-8)=0\)
Na podstawie wykresu widać, że mamy do czynienia tylko z jednym pierwiastkiem, więc albo wielomian w drugim nawiasie nie ma pierwiastków, albo jest nim liczba 2. Sprawdzamy to:
\(W_1(2)=2^3-6\cdot 2^2+12\cdot 2-8=8-24+24-8=0\)
Wykonujemy więc dzielenie wielomianu \(W_1(x)\) przez dwumian \(x-2\):
Możemy więc nasze równanie zapisać w postaci:
\((x-2)(x-2)(x^2-4x+4)=0\)
Wyrażenie w ostatnim nawiasie można rozłożyć na czynniki za pomocą wzoru skróconego mnożenia:
Zgodnie z nim mamy: \(x^2-4x+2^2=(x-2)^2\). Piszemy więc:
\((x-2)(x-2)(x-2)^2=0\)
\((x-2)^4=0\)
\(x=2\)
Wystarczy teraz podstawić wyliczoną wartość do pierwszego równania aby znaleźć wartość \(y\):
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ x=2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}\cdot 2^2-2+1\\x=2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=0 \\ x=2 \end{cases}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-582
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)
Zadanie nr 2.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać graficznie układ równań:
\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru m układ równań:
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?
Zadanie nr 7.
Rozwiązać graficznie układy nierówności:
a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)
Zadanie nr 8.
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)
Zadanie nr 9.
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).
Zadanie nr 10 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.