Zadanie - układ nierówności drugiego stopnia

Treść zadania:

Rozwiązać graficznie układy nierówności:

a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)


ksiązki Rozwiązanie części a)

Gdyby zastąpić znaki większości i mniejszości równością, to otrzymamy równania okręgów w postaci:

\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)

\( S=(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu \(r\). Mamy więc dwa okręgi współśrodkowe o środku w punkcie \(S=(2,2)\) i promieniach \(r_1=2\) oraz \(r_2=1\).

W naszym przypadku mamy jednak nierówności. W pierwszym przypadku możemy nierówność zinterpretować w następujący sposób: mamy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku \(S=(2,2)\) i promieniu równym lub mniejszym od \(2\). W drugim przypadku możemy nierówność zinterpretować w następujący sposób: mamy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku \(S=(2,2)\) i promieniu równym lub większym od \(1\).

Rysujemy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich część wspólną, która stanowi rozwiązanie układu nierówności (pole podwójnie zakreskowane):

rysunek

Poniżej rozwiązanie układu nierówności:

Rozwiązanie graficzne układu nierówności

ksiązkiRozwiązanie części b)

Gdyby zastąpić znaki większości i mniejszości równością, to otrzymamy równania okręgów w postaci:

\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)

\(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu \(r\). Mamy w pierwszym przypadku okrąg o środku w punkcie \(S=(1,0)\) i promieniu \(r=2\), w drugim przypadku (nierówności) okrąg o środku w punkcie \(S=(-1,0)\) i promieniu \(r=2\).

W naszym układzie mamy jednak nierówności, a nie równania. Możemy je zinterpretować w następujący sposób: mamy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku \(S=(p,q)\) i promieniu równym lub mniejszym od \(2\). W efekcie opisujemy koła.

Rysujemy wszystkie wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich część wspólną, która stanowi rozwiązanie układu nierówności (pole podwójnie zakreskowane):

Rozwiązanie graficzne układu nierówności


© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-583

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać graficznie układ równań:

\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametru m układ równań:

\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)

a) nie posiada rozwiązań

b) posiada jedno rozwiązanie

c) posiada dwa rozwiązania

d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:

\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać graficznie układ nierówności:

\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).

Figura w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).

zadanie 13, matura rozszerzona 2023, matematyka

Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.