Zadanie - układ nierówności drugiego stopnia
Treść zadania:
Rozwiązać graficznie układy nierówności:
a) \(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2\leq 4 \\ (x-2)^2+(y-2)^2\geq 1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+y^2\leq 4 \\ (x+1)^2+y^2\leq 4 \end{cases}\)
Rozwiązanie części a)
Gdyby zastąpić znaki większości i mniejszości równością, to otrzymamy równania okręgów w postaci:
\( S=(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu \(r\). Mamy więc dwa okręgi współśrodkowe o środku w punkcie \(S=(2,2)\) i promieniach \(r_1=2\) oraz \(r_2=1\).
W naszym przypadku mamy jednak nierówności. W pierwszym przypadku możemy nierówność zinterpretować w następujący sposób: mamy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku \(S=(2,2)\) i promieniu równym lub mniejszym od \(2\). W drugim przypadku możemy nierówność zinterpretować w następujący sposób: mamy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku \(S=(2,2)\) i promieniu równym lub większym od \(1\).
Rysujemy oba wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich część wspólną, która stanowi rozwiązanie układu nierówności (pole podwójnie zakreskowane):
Poniżej rozwiązanie układu nierówności:
Rozwiązanie części b)
Gdyby zastąpić znaki większości i mniejszości równością, to otrzymamy równania okręgów w postaci:
\(S=(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu \(r\). Mamy w pierwszym przypadku okrąg o środku w punkcie \(S=(1,0)\) i promieniu \(r=2\), w drugim przypadku (nierówności) okrąg o środku w punkcie \(S=(-1,0)\) i promieniu \(r=2\).
W naszym układzie mamy jednak nierówności, a nie równania. Możemy je zinterpretować w następujący sposób: mamy do czynienia ze wszystkimi okręgami o środku \(S=(p,q)\) i promieniu równym lub mniejszym od \(2\). W efekcie opisujemy koła.
Rysujemy wszystkie wykresy w jednym układzie współrzędnych i zaznaczamy ich część wspólną, która stanowi rozwiązanie układu nierówności (pole podwójnie zakreskowane):
© medianauka.pl, 2010-02-06, ZAD-583
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-2)^2=1 \\ y=x+1 \end{cases}\)
Zadanie nr 2.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} xy-2=0 \\ y=-3x+3 \end{cases}\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ xy=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
a) \(\begin{cases} (x+1)^2+(y+1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=4 \\ x=3 \\y=1 \end{cases}\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać graficznie układ równań:
\(\begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2=2 \\ y=x^2 \end{cases}\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru m układ równań:
\(\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ y=3x+m \end{cases}\)
a) nie posiada rozwiązań
b) posiada jedno rozwiązanie
c) posiada dwa rozwiązania
d) posiada nieskończenie wiele rozwiązań?
Zadanie nr 7.
Rozwiązać graficznie i rachunkowo układ równań:
\(\begin{cases} y=\frac{1}{4}x^2-x+1 \\ (x-2)^2+(y-2)^2=4 \end{cases}\)
Zadanie nr 8.
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\(\begin{cases} x^2+y^2\leq 4 \\ y<x \\y>-x \end{cases}\)
Zadanie nr 9.
Zapisz za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku (zakreskowane pole).
Zadanie nr 10 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta \(l\) o równaniu \(x-y-2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=4x^2-7x+1\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu \(O\). Punkt \(C\) leży na okręgu \(O\) nad prostą \(l\), a kąt \(BAC\) jest ostry i ma miarę \(\alpha\) taką, że \(tg\alpha=\frac{1}{3}\) (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu \(C\). Zapisz obliczenia.