Zadanie - nierówność kwadratowa
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+8x+16> 0\)
b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)
Rozwiązanie części a)
Aby rozwiązać nierówność \(x^2+8x+16> 0\) trzeba znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego. Obliczamy więc wyróżnik:
\(a=1,\ b=8,\ c=16\)
\(\Delta=b^2-4ac=8^2-4\cdot 1\cdot 16=64-64=0\)
Wyróżnik jest równy zero, więc trójmian ma dokładnie jeden pierwiastek (przecina oś \(OX\) w jednym punkcie).
\(x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2}=-4\)
Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Sporządzamy szkic wykresu:
Interesują nas wartości większe od zera. Wartości trójmianu są dodatnie dla:
Odpowiedź
Rozwiązanie części b)
Aby rozwiązać nierówność \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\) musimy znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego. Obliczamy wyróżnik:
\(a=-1,\ b=2\sqrt{2},\ c=-2\)\
\(\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4\cdot (-1)\cdot (-2)=4\cdot 2-8=0\)
Wyróżnik jest równy zero, więc trójmian ma dokładnie jeden pierwiastek (przecina oś \(OX\) w jednym punkcie).
\(x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2\sqrt{2}}{-2}=\sqrt{2}\)
Współczynnik a jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół. Sporządzamy szkic wykresu:
Interesują nas wartości większe od zera (takich nie znajdujemy) lub równe zeru. Tylko jeden argument spełnia ten warunek:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-09, ZAD-592
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x^2+2x-3\geq 0\)
b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)
c) \(-x^2+2\leq 0\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność:
a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)
b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych?
b) zbiór pusty?
