Zadanie - nierówność kwadratowa z parametrem

Treść zadania:

Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:

a) zbiór liczb rzeczywistych?

b) zbiór pusty?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Współczynnik a trójmianu po lewej stronie nierówności jest dodatni, a więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Interesują nas wartości większe od zera. Możliwe są trzy przypadki:

Rysunek pomocniczy

Zauważamy, że pierwszy rysunek ilustruje nam przypadek a) z treści zadania (zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych). Jednocześnie zauważamy, że nie istnieje przypadek, w którym rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty, gdyż w drugim przypadku rozwiązaniem jest zbiór \(R\setminus \lbrace x_0\rbrace\), a w trzecim przypadku przedział \((-\infty;x_1)\cup (x_2;+\infty)\), zatem nie ma takiej wartości m, dla której zbiorem rozwiązań niniejszej nierówności jest zbiór pusty.

Pierwszy przypadek jest spełniony dla wyróżnika trójmianu kwadratowego mniejszego od zera.

\(\Delta< 0\)

\(a=1,\ b=m,\ c=-1+m\)

\(\Delta=b^2-4ac=m^2-4(-1+m)=\)

\(=m^2+4-4m=m^2-4m+4\)

\(m^2-4m+4< 0\)

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\(m^2-2\cdot 2\cdot m+2^2< 0\)

\((m-2)^2< 0\)

Mamy więc jedno miejsce zerowe \(x_0=2\), ramiona paraboli są skierowane w górę ze względu na dodatni współczynnik a, z rysunku odczytujemy rozwiązanie:

Rysunek pomocniczy

Interesują nas wartości mniejsze od zera i widać z rysunku, że nie ma takich argumentów \(m\), dla których wartości trójmianu kwadratowego są ujemne.

ksiązki Odpowiedź

Nie ma takiej wartości \(m\), dla której zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór pusty lub zbiór liczb rzeczywistych.

© medianauka.pl, 2010-02-11, ZAD-595

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log(5x^2-3x+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(2x^2-|x+1|\leq -1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x^2+2x-3\geq 0\)

b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)

c) \(-x^2+2\leq 0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność:

a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)

b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x^2+8x+16> 0\)

b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać nierówność \(\frac{x}{x+1}\geq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiązać nierówność \(2x^2-4x>3x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x>(x+3)(x-2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2x^2−3x>5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(3x^2−16x+16>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2(x −1)(x + 3)>x −1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(x^2-5x ≤ 14\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(3x^2-3x-9\geq 7\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.