Nauka » Matematyka » Równanie kwadratowe

Zadanie - równanie kwadratowe

Treść zadania:

Rozwiązać równanie:

a) $x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0$

b) $x^2-10x-119=0$

Rozwiązanie części a)

Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:

$a=1$

$b=-\frac{1}{4}$

$c=-\frac{1}{8}$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$\Delta=b^2-4ac=(-\frac{1}{4})^2-4\cdot 1\cdot (-\frac{1}{8})=\frac{1}{16}+\frac{4}{8}=\frac{1}{16}+\frac{8}{16}=\frac{9}{16}$

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}{2}=\frac{-\frac{2}{4}}{2}=\frac{-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{1}{4}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{2}=\frac{\frac{4}{4}}{2}=\frac{1}{2}$

Odpowiedź

$x_1=-\frac{1}{4}, \ x_2=\frac{1}{2}$

Rozwiązanie części b)

Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:

$a=1,\ b=-10,\ c=-119$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$\Delta=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot 1\cdot (-119)=100+476=576$

Aby znaleźć pierwiastek liczby $576$ rozkładamy ją na czynniki:

$\begin{tabular}{c|c} 576 & 2 \\ 288 & 2 \\ 144 & 2 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 \end{tabular}$

$576=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=2^2\cdot 2^2\cdot 2^2 \cdot 3^2$

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{576}=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 2^2 \cdot 3^2 }=2\cdot 2\cdot 2 \cdot 3 =24$

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-10)-24}{2}=\frac{-14}{2}=-7 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10+24}{2}=\frac{34}{2}=17$

Odpowiedź

$x_1=-7,\ x_2=17$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie $2x^2-|x|+1=2$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie $2+3+4+...+x=209$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie kwadratowe:

a) $x^2+4x-5=0$

b) $x^2-22x+121=0$

c) $x^2+2x+7=0$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby $\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie $\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równość $(x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2$ jest

A. prawdziwa dla $x=\sqrt{2}$

B. prawdziwa dla $x=-\sqrt{2}$

C. prawdziwa dla $x=-1$

D. fałszywa dla każdej liczby $x$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.