Zadanie - równanie kwadratowe
Treść zadania:
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy tutaj z własności trójmianu kwadratowego, a w szczególności z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego:
Oznaczenia: \(a\) jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera, \(x_1, x_2\) to pierwiastki trójmianu.
Równanie kwadratowe \(ax^2+bx+c=0\) można przedstawić w postaci iloczynowej:
Gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni (lub równy zero). W treści zadania mamy już jednak podane pierwiastki równania, możemy więc napisać:
\(a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0\)
Liczba a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera. Doprowadzimy jeszcze powyższe równanie do postaci: \(ax^2+bx+c=0\), mnożąc przez siebie liczby w nawiasach.
\(a(x-\sqrt{2})(x-\frac{1}{2})=0\)
\(a(x^2+\frac{1}{2}x-\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2})=0\)
\(ax^2+a\frac{1}{2}x-a\sqrt{2}x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0\)
\(ax^2+a(\frac{1}{2}-\sqrt{2})x-\frac{a\sqrt{2}}{2}=0\)
Otrzymaliśmy w ten sposób wzór ogólny reprezentujący dowolne równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2},\ \frac{1}{2}\). Wystarczy teraz podstawić za a dowolną liczbę, aby uzyskać konkretne równanie kwadratowe.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-12, ZAD-601
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie kwadratowe:
a) \(x^2+4x-5=0\)
b) \(x^2-22x+121=0\)
c) \(x^2+2x+7=0\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie:
a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)
b) \(x^2-10x-119=0\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest
A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)
B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)
C. prawdziwa dla \(x=-1\)
D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest
A. siedmiokąt.
B. dziesięciokąt.
C. dwunastokąt.
D. piętnastokąt.