Zadanie - równanie kwadratowe - zadanie z treścią
Treść zadania:
Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?
Rozwiązanie zadania
Pole kwadratu o boku długości a obliczamy ze wzoru:
Z treści zadania wynika, że pole kwadratu jest równe 2. Mamy więc równanie:
\(a^2=2\)
\(a^2-2=0\)
Możemy teraz rozwiązać zadanie na dwa sposoby:
Sposób I
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, wprowadzając dla współczynników trójmianu kwadratowego w oznaczeniu indeks, gdyż zmienną w naszym przypadku jest litera \(a\), która zwykle oznacza współczynnik przy zmiennej podniesionej do kwadratu.
\(a^2-2=0\)
\(a_d=1\)
\(b_d=0\)
\(c_d=-2\)
\(\Delta=b_d^2-4a_dc_d=0^2-4\cdot 1\cdot (-2)=8\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}\)
Wyróżnik trójmianu jest dodatni, więc trójmian ma dwa pierwiastki:
\(a_1=\frac{-b_d-\sqrt{\Delta}}{2a_d}=\frac{-0-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\)
\(a_2=\frac{-b_d+\sqrt{\Delta}}{2a_d}=\frac{-0+2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)
Ponieważ pierwszy pierwiastek jest ujemny, a długość boku kwadratu musi być liczbą dodatnią, za rozwiązanie przyjmujemy wartość drugiego pierwiastka.
Sposób II
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
Nasze równanie przyjmuje postać:
\(a^2-2=0\)
\((a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})=0\)
Mamy więc dwa pierwiastki rozwiązania:
\(a_1=\sqrt{2}, \ a_2=-\sqrt{2}\)
z których pod uwagę bierzemy tylko wartość dodatnią, gdyż szukamy długości boku.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-12, ZAD-602
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie kwadratowe:
a) \(x^2+4x-5=0\)
b) \(x^2-22x+121=0\)
c) \(x^2+2x+7=0\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie:
a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)
b) \(x^2-10x-119=0\)
Zadanie nr 5.
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest
A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)
B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)
C. prawdziwa dla \(x=-1\)
D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest
A. siedmiokąt.
B. dziesięciokąt.
C. dwunastokąt.
D. piętnastokąt.