Zadanie - zastosowanie równań kwadratowych
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\).
Rozwiązanie zadania
Warto na początku określić dziedzinę równania. W naszym przypadku jest to zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczb \(1\) i \(-1\) (mianowniki ułamków muszą być różne od zera).
Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę równania i sprowadzenia ich do wspólnego mianownika: \((x+1)(x-1)\).
\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\)
\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}-1=0\)
\(\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}-\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0\)
\(\frac{x+\cancel{1}+x-\cancel{1}-(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0\)
\(\frac{2x-(x^2-1)}{(x+1)(x-1)}=0\)
\(\frac{2x-x^2+1}{(x+1)(x-1)}=0\)
\(-x^2+2x+1=0\)
Kilka słów wyjaśnienia do powyższych przekształceń: W ostatnim kroku "zniknął" ułamek. Jeżeli ułamek ma być równy zero, to znaczy, że jego licznik jest równy zero. Możemy więc zapisać ostatnie równanie w takiej postaci. Kolorem żółtym zaznaczono fragment obliczeń, w którym zastosowano wzór skróconego mnożenia: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
Otrzymaliśmy zwykłe równanie kwadratowe. Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:
\(a=-1\)
\(b=2\)
\(c=1\)
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(\Delta=2^2-4\cdot (-1)\cdot 1=4+4=8\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}\)
Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1+\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1+\sqrt{2}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=\frac{\cancel{-2}(1-\sqrt{2})}{\cancel{-2}}=1-\sqrt{2}\)
Oba rozwiązania należą do dziedziny równania.
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-603
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie kwadratowe:
a) \(x^2+4x-5=0\)
b) \(x^2-22x+121=0\)
c) \(x^2+2x+7=0\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie:
a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)
b) \(x^2-10x-119=0\)
Zadanie nr 5.
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest
A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)
B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)
C. prawdziwa dla \(x=-1\)
D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest
A. siedmiokąt.
B. dziesięciokąt.
C. dwunastokąt.
D. piętnastokąt.