Zadanie - Zastosowanie równań kwadratowych

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Warto na początku określić dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie ma sens matematyczny.

\(1-2x\neq 0\)

\(-2x\neq -1/:(-2)\)

\(x\neq \frac{1}{2}\)

\(4x+1\neq 0\)

\(4x\neq -1/:4\)

\(x\neq -\frac{1}{4}\)

\(DR:R/ \lbrace -\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\rbrace\)

Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę równania i sprowadzenia ich do wspólnego mianownika: \((1-2x)(4x+1)\).

\(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\)

\(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}+3=0\)

\(\frac{4x+1}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)}{(1-2x)(4x+1)}+\frac{3(1-2x)(4x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0\)

\(\frac{4x+1+3-6x+3(4x+1-8x^2-2x)}{(1-2x)(4x+1)}=0\)

\(\frac{-2x+4+3(-8x^2+2x+1)}{(1-2x)(4x+1)}=0\)

\(\frac{-2x+4-24x^2+6x+3}{(1-2x)(4x+1)}=0\)

\(\frac{-24x^2+4x+7}{(1-2x)(4x+1)}=0\)

\(-24x^2+4x+7=0\)

W ostatnim kroku "zniknął" ułamek. Jeżeli ułamek ma być równy zero, to znaczy, że jego licznik jest równy zero. Możemy więc zapisać ostatnie równanie w takiej postaci.

Otrzymaliśmy zwykłe równanie kwadratowe. Współczynniki trójmianu znajdującego się po lewej stronie równania są następujące:

\(a=-24\)

\(b=4\)

\(c=7\)

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-24)\cdot 7=16+672=688\)

Aby znaleźć pierwiastek liczby \(688\) rozkładamy ją na czynniki:

obliczenia

\(688=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 43=2^2\cdot 2^2\cdot 43\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{688}=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 43}=2\cdot 2\cdot \sqrt{43} =4\sqrt{43}\)

Wyróżnik kwadratowy jest większy od zera, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4-4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1+\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1+\sqrt{43}}{12}\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4+4\sqrt{43}}{2\cdot(-24)}=\frac{\cancel{-4}(1-\sqrt{43})}{\cancel{-4}\cdot 12}=\frac{1-\sqrt{43}}{12}\)

Oba rozwiązania należą do dziedziny równania.

ksiązki Odpowiedź

\(x_1=\frac{1-\sqrt{43}}{12}, \ x_2=\frac{1+\sqrt{43}}{12}\)

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-604

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(2x^2-|x|+1=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie kwadratowe:

a) \(x^2+4x-5=0\)

b) \(x^2-22x+121=0\)

c) \(x^2+2x+7=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie:

a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)

b) \(x^2-10x-119=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest

A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)

B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)

C. prawdziwa dla \(x=-1\)

D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.