Zadanie — wzory Viete'a — zastosowanie w zadaniach
Treść zadania:
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).
Rozwiązanie zadania
Szukamy równania w postaci \(ax^2+bx+c=0,\ a\neq 0\).
Musimy znaleźć wartości współczynników \(a, b, c\). Założyliśmy, że \(a\) jest różne od zera, gdyż tylko wtedy mamy do czynienia z równaniem kwadratowym.
Skorzystamy ze wzorów Viete'a:
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
W warunkach zadania zamiast sumy pierwiastków mamy do czynienia z sumą kwadratów pierwiastków. Możemy jednak to zmienić stosując wzór skróconego mnożenia:
\(x_1^2+x_2^2=\frac{17}{4}\)
\( x_1^2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}\)
Dodaliśmy i odjęliśmy tutaj ten sam czynnik, co wolno nam zrobić, aby otrzymać zdanie równoważne.
Skorzystajmy teraz z drugiego warunku zadania:
\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}/\cdot x_1x_2 (x_1\neq 0, \ x_2\neq 0)\)
\(x_1+x_2=\frac{3}{2}x_1x_2/ \cdot \frac{2}{3}\)
\(x_1x_2=\frac{2}{3}(x_1+x_2)\)
Zauważmy, że warunki zadania określają odwrotności pierwiastków równania, czyli wykluczony jest przypadek, gdy choćby jeden z pierwiastków jest równy zeru.
Wyznaczoną wartość iloczynu pierwiastków wstawiamy do wzoru na sumę kwadratu pierwiastków (kolor niebieski)
\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{17}{4}\)
\((x_1+x_2)^2-2\cdot \frac{2}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}\)
\((x_1+x_2)^2-\frac{4}{3}(x_1+x_2)=\frac{17}{4}\)
Zastosujemy teraz podstawienie:
\(x_1+x_2=t\)
\(t^2-\frac{4}{3}t=\frac{17}{4}/\cdot 12\)
\(12t^2-4\cdot 4t=3\cdot 17\)
\(12t^2-16t-51=0\)
\(a=12,\ b=-16,\ c=-51\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-16^2)-4\cdot 12\cdot (-51)=\)
\( =256+2448=2704\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{2704}=52\)
\( t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{16-52}{24}=\frac{-36}{24}=-\frac{3}{2}\)
\(t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{16+52}{24}=\frac{68}{24}=\frac{17}{4}\)
Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Zastosujemy tutaj pierwszy wzór Viete'a.
\(t=-\frac{3}{2}\)
\(x_1+x_2=-\frac{3}{2}\)
\(-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}/\cdot (-a)\)
\(b=\frac{3}{2}a\)
Nasze równanie przyjmuje postać:
\(ax^2+bx+c=0\)
\(ax^2+\frac{3}{2}ax+c=0\)
Musimy jeszcze wyrazić współczynnik c za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:
\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2}\)
\(-\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\)
\(-\frac{b}{c}=\frac{3}{2}\)
\(-\frac{\frac{3}{2}a}{c}=\frac{3}{2}/:(-\frac{3}{2})\)
\(\frac{a}{c}=-1\)\
\(\frac{a}{c}+1=0\)
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{c}=0\)
\(\frac{a+c}{c}=0\)
\(a+c=0\)
\(a=-c\)
Nasze równanie przyjmuje postać:
\(ax^2+bx+c=0\)
\(ax^2+\frac{3}{2}ax-a=0/:a (a\neq 0)\)
\(x^2+\frac{3}{2}x-1=0\)
Przypadek 2
\(t=\frac{17}{4}\)
\(x_1+x_2=\frac{17}{4}\)
\(-\frac{b}{a}=\frac{17}{4}/\cdot (-a)\)
\(b=-\frac{17}{4}a\)
Nasze równanie przyjmuje postać:
\(ax^2+bx+c=0\)
\(ax^2-\frac{17}{4}ax+c=0\)
Musimy jeszcze wyrazić współczynnik \(c\) za pomocą współczynnika a. Skorzystamy z drugiego warunku zadania oraz obu wzorów Viete'a:
\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{3}{2}\)
\(-\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=\frac{3}{2}\)
\(-\frac{b}{c}=\frac{3}{2}\)
\(-\frac{-\frac{17}{4}a}{c}=\frac{3}{2}/\cdot 4\)
\(\frac{17a}{c}=6\)
\(\frac{17a}{c}-6=0\)
\(\frac{17a}{c}-\frac{6c}{c}=0\)
\(\frac{17a-6c}{c}=0\)
\(17a-6c=0\)
\(6c=17a/:6\)
\(c=\frac{17}{6}c\)
Nasze równanie przyjmuje postać:
\(ax^2+bx+c=0\)
\(ax^2-\frac{17}{4}ax+\frac{17}{6}a=0/:a (a\neq 0)\)
\(x^2-\frac{17}{4}x+\frac{17}{6}=0\)
Mamy więc dwa równania, które spełniają warunki zadania:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-607
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 3.
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie
\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.