Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a

Zadanie — zastosowanie wzorów Viete'a

Treść zadania:

Rozwiązać równanie kwadratowe $x^{2} + m x - 3 = 0$ , jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Rozwiązanie zadania

Zgodnie z warunkami zadania mamy:

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 2$

$\frac{x_{2}}{x_{1} x_{2}} + \frac{x_{1}}{x_{1} x_{2}} = 2$

$\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = 2$

Skorzystamy ze wzorów Viete'a:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Otrzymujemy więc:

$\frac{- \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = 2$

$- \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = 2$

$- \frac{b}{c} = 2$

Nasze równanie ma postać:

$x^{2} + m x - 3 = 0$

$a = 1, b = m, c = - 3$

$- \frac{m}{- 3} = 2 / \cdot 3$

$m = 6$

Znamy już wartość $m$ , więc można rozwiązać równanie:

$x^{2} + 6 x - 3 = 0$

$a = 1, b = 6, c = - 3$

$Δ = b^{2} - 4 a c = 36 + 12 = 48$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{48} = \sqrt{3 \cdot 16} = 4 \sqrt{3}$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 6 - 4 \sqrt{3}}{2} = \frac{2 (- 3 - 2 \sqrt{3})}{2} = - 3 - 2 \sqrt{3}$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 6 + 4 \sqrt{3}}{2} = \frac{2 (- 3 + 2 \sqrt{3})}{2} = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Odpowiedź

x_{1} = - 3 - 2 \sqrt{3}, x_{2} = - 3 + 2 \sqrt{3}

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Dla jakich wartości parametru $m$ suma odwrotności pierwiastków równania $x^{2} - 2 (m + 1) x + (m^{2} + 3 m - 18) = 0$ ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego $x^{2} - x + m = 0$ jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego $x^{2} + d x + 1 = 0$ jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa $\frac{17}{4}$ , a suma odwrotności pierwiastków jest równa $\frac{3}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy $f (x) = x^{2} + 2 (m + 1) x + 6 m + 1$ . Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki $x_{1}$ , $x_{2}$ tego samego znaku, spełniające warunek $| x_{1} - x_{2} | < 3$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy $f (x) = (m + 1) x^{2} + 2 (m - 2) x - m + 4$ . Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ , spełniające warunek $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = x_{1}^{4} - x_{2}^{4}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $4 x^{2} - 6 m x + (2 m + 3) (m - 3) = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ i $x_{2}$ , przy czym $x_{1} < x_{2}$ , spełniające warunek $(4 x_{1} - 4 x_{2} - 1) (4 x_{1} - 4 x_{2} + 1) < 0$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^{2} + (m + 1) x - m^{2} + 1 = 0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ i $x_{2}$ $(x_{1} \neq x_{2})$ , spełniające warunek $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 7 x_{1} x_{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = (2 m + 1) x^{2} + (m + 2) x + m - 3$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ , spełniające warunek $(x_{1} - x_{2})^{2} + 5 x_{1} x_{2} \geq 1$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Dane jest równanie kwadratowe $x^{2} - (3 m + 2) x + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 0$ z niewiadomą $x$ . Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których różne rozwiązania $x_{1}$ i $x_{2}$ tego równania istnieją i spełniają warunek $2 x_{1}^{2} + 5 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = 2$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$ , spełniające warunki: $x_{1} \neq 0, x_{2} \neq 0$ oraz $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + 2 = \frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m \neq 2$ , dla których równanie

$x^{2} + 4 x - \frac{m - 3}{m - 2} = 0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ spełniające warunek $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 28$ . Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.