Zadanie - równanie dwukwadratowe
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(x^4+x^2=12\)
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia ze zwykłym równaniem dwukwadratowym, w związku z czym stosujemy proste podstawienie za \(x^2\) nową zmienną \(t\):
\(x^4+x^2=12\)
\((x^2)^2+x^2-12=0\)
\(x^2=t\)
\(t^2+t-12=0\)
Dalej już rozwiązujemy zwykłe równanie kwadratowe ze względu na zmienną \(t\):
\(a=1,\ b=1,\ c=-12\)
\(\Delta_t=b^2-4ac=1+4\cdot 12=49\)
\(\sqrt{\Delta_t}=\sqrt{49}=7\)
\(t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4\)
\(t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3\)
Wracamy do zmiennej \(x\). Mamy dwa równania:
\(x^2=-4\)
\(x^2+4=0\)
\(\Delta_x=0-16=-16<0\)
W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania, gdyż wyróżnik jest ujemny (można to było stwierdzić od razu, gdyż nie ma takiej liczby, dla której kwadrat jest ujemny).
Drugie równanie:
\(x^2=3\)
\(x^2-3=0\)
\((x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\)
\(x_1=\sqrt{3}, \ x_2=-\sqrt{3}\)
Skorzystaliśmy tutaj z rozkładu trójmianu na czynniki liniowe za pomocą wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
Jest to rozwiązanie naszego równania dwukwadratowego:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-609
