Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Rozwiązanie zadania
Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem \(x\neq a\) i \(x\neq 1\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.
\(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\)
\(\frac{3}{x-a}-\frac{x+a}{1-x}=0\)
\(\frac{3(1-x)}{(1-x)(x-a)}-\frac{(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\)
\(\frac{3(1-x)-(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\)
Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.
\(3(1-x)-(x+a)(x-a)=0\)
\(3-3x-(x^2-a^2)=0\)
\(3-3x-x^2+a^2=0\)
\(-x^2-3x+a^2+3=0\)
Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(a=-1,\ b=-3,\ c=a^2+3\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (a^2+3)=\)
\(=9+4(a^2+3)=9+4a^2+12=4a^2+21\)
W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.
Jeżeli \(\Delta>0\) równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
\(\Delta>0\)
\(4a^2+21>0\)
\(\Delta_a=0^2-4\cdot 4\cdot 21=-336<0\)
Współczynnik przy \(a^2\) jest dodatni, ramiona paraboli skierowane są do góry, interesują nas wartości większe od zera, a więc rozwiązanie odczytujemy z wykresu:
Zatem dla dowolnej wartości parametru a (\(a\in \mathbb{R}\)) wyróżnik trójmianu kwadratowego \(\Delta\), znajdującego się po lewej stronie analizowanego równania jest dodatni. Równanie ma zatem dwa rozwiązania dla dowolnej wartości parametru \(a\). Znajdźmy to rozwiązanie:
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}\)
Rozwiązania należą do dziedziny równania. Skoro dla każdej wartości parametru \(a\) równanie ma dwa rozwiązania, to nie ma takich wartości \(a\), dla której równania ma \(1\) lub \(0\) rozwiązań.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-611
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Zadanie nr 6.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).