Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Rozwiązanie zadania
Określimy teraz dziedzinę równania. Mianowniki ułamków muszą być różne od zera, zatem \(x\neq a\) i \(x\neq 1\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.
\(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\)
\(\frac{3}{x-a}-\frac{x+a}{1-x}=0\)
\(\frac{3(1-x)}{(1-x)(x-a)}-\frac{(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\)
\(\frac{3(1-x)-(x+a)(x-a)}{(1-x)(x-a)}=0\)
Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru.
\(3(1-x)-(x+a)(x-a)=0\)
\(3-3x-(x^2-a^2)=0\)
\(3-3x-x^2+a^2=0\)
\(-x^2-3x+a^2+3=0\)
Sprowadziliśmy nasze równanie do równania kwadratowego z parametrem. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(a=-1,\ b=-3,\ c=a^2+3\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot (-1)\cdot (a^2+3)=\)
\(=9+4(a^2+3)=9+4a^2+12=4a^2+21\)
W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.
Jeżeli \(\Delta>0\) równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
\(\Delta>0\)
\(4a^2+21>0\)
\(\Delta_a=0^2-4\cdot 4\cdot 21=-336<0\)
Współczynnik przy \(a^2\) jest dodatni, ramiona paraboli skierowane są do góry, interesują nas wartości większe od zera, a więc rozwiązanie odczytujemy z wykresu:
Zatem dla dowolnej wartości parametru a (\(a\in \mathbb{R}\)) wyróżnik trójmianu kwadratowego \(\Delta\), znajdującego się po lewej stronie analizowanego równania jest dodatni. Równanie ma zatem dwa rozwiązania dla dowolnej wartości parametru \(a\). Znajdźmy to rozwiązanie:
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}\)
Rozwiązania należą do dziedziny równania. Skoro dla każdej wartości parametru \(a\) równanie ma dwa rozwiązania, to nie ma takich wartości \(a\), dla której równania ma \(1\) lub \(0\) rozwiązań.
Odpowiedź
Dla każdej wartości parametru a równanie ma dwa rozwiązania: \(x_1=\frac{3-\sqrt{4a^2+21}}{-2},\ x_2=\frac{3+\sqrt{4a^2+21}}{-2}\)© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-611
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Zadanie nr 6.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).