Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Treść zadania:
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Rozwiązanie zadania
Aby nasze równanie było równaniem kwadratowym, współczynnik przy \(x^2\) musi być różny od zera.
\(a+3\neq 0\)
\(a\neq 3\)
Mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\)
\(a_1=a+3\\ b_1=-(a+1)\)
\(c_1=1\)
\(\Delta=b_1^2-4a_1c_1=[-(a+1)]^2-4(a+3)\cdot 1=\)
\(=(a+1)^2-4(a+3)=a^2+2a+1-4a-12=\\ =a^2-2a-11\)
W zależności od znaku wyróżnika równanie może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań.
1) Jeżeli \(\Delta>0\) równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.
\(\Delta>0\)
\(a^2-2a-11>0\)
Rozwiązujemy nierówność kwadratową:
\(\Delta_a=(-2)^2+4\cdot 11\cdot 1=48\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\)
\(a_1=\frac{2-4\sqrt{3}}{2}=1-2\sqrt{3}\approx -2,5\)
\( a_2=\frac{2+4\sqrt{3}}{2}=1+2\sqrt{3}\approx 4,5\)
Ramiona paraboli \(a^2-2a-11\) są skierowane do góry, funkcja ma dwa miejsca zerowe, interesują nas wartości dodatnie. Pamiętając o dziedzinie równania (jeżeli \(a\) jest równe \(-3\), równanie staje się równaniem liniowym i nie może mieć dwóch rozwiązań), odczytujemy rozwiązanie z wykresu (zakreskowany niebieski obszar):
\(a\in(-\infty;-3)\cup (-3; 1-2\sqrt{3})\cup (1+2\sqrt{3};+\infty)\)
2) Jeżeli \(\Delta=0\) równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie. Odczytujemy je z powyższego rysunku (punkty na osi liczbowej).
\(\Delta=0\)
\(a_1=1-2\sqrt{3}\)
\(a_2=1+2\sqrt{3}\)
\(a_3=-3\)
Ten ostatni pierwiastek wynika z tego, że gdy \(a=-3\) mamy równanie liniowe, które ma jedno rozwiązanie.
3) Jeżeli \(\Delta<0\) równanie kwadratowe nie ma rozwiązania.
Rozwiązanie odczytujemy z powyższego wykresu (zakreskowany czerwony obszar).
\(a\in (1-2\sqrt{3};1+2\sqrt{3})\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-613
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Zadanie nr 6.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).