Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Treść zadania:
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Rozwiązanie zadania
Aby nasze równanie było równaniem kwadratowym, współczynnik przy \(x^2\) musi być różny od zera.
\(m^2\neq 0\)
\(m\neq 0\)
Dla \(m=0\) otrzymujemy równanie:
\(0^2\cdot x^2-6x+9=0\)
\(-6x=-9/:(-6)\)
\(x=\frac{9}{6}\\ x=\frac{3}{2}\)
Mamy zatem przypadek, gdy równanie posiada jedno rozwiązanie - jest tak dla \(m=0\).
dla m różnego od zera mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(m^2x^2-6x+9=0\)
\(a=m^2,\ b=-6,\ c=9\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot m^2\cdot 9=-36m^2+36\)
Jeżeli \(\Delta=0\) równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.
\(\Delta=0\)
\(-36m^2+36=0/:(-36)\)
\(m^2-1=0\)
\((m-1)(m+1)=0\)
Pierwiastki odczytujemy z postaci iloczynowej trójmianu:
\(m=1 \ \vee \ m=-1\)
Dla takich wartości parametru m równanie ma jedno rozwiązanie, które obliczamy ze wzoru:
\(x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2m^2}=\frac{3}{m^2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-614
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 6.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).