Zadanie - równanie z parametrem
Treść zadania:
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Rozwiązanie zadania
Zanim obliczymy sumę kwadratów pierwiastków równania, musimy znaleźć te pierwiastki. Mamy postać równania kwadratowego. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(x^2-mx-m-1=0\)
\(a=1,\ b=-m,\ c=-m-1\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-m)^2-4\cdot 1\cdot (-m-1)=m^2+4m+4=(m+2)^2\)
Aby równanie miało pierwiastki (jeden podwójny lub dwa różne), wyróżnik trójmianu musi być większy od zera lub równy zero.
\(\Delta\geq 0\)
\((m+2)^2\geq 0\)
Powyższy trójmian ma jedno miejsce zerowe \((m=-2)\), ramiona paraboli skierowane są do góry (współczynnik przy \(m^2\) jest dodatni), interesują nas wartości dodatnie lub równe zero. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu:
Zatem dla każdej wartości \(m\) równanie \(x^2-mx-m-1=0\) ma dwa pierwiastki lub jeden pierwiastek podwójny. Obliczamy ich wartość:
\(\Delta=(m+2)^2\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{(m+2)^2}=m+2\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m-(m+2)}{2}=-1\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{m+m+2}{2} =\frac{2m+2}{2}=m+1\)
Przechodzimy do sedna zadania. Mamy znaleźć taką wartość parametru m, aby suma kwadratów pierwiastków równania była najmniejsza. Obliczamy więc sumę kwadratów pierwiastków:
\(x_1^2+x_2^2=(-1)^2+(m+1)^2=1+m^2+2m+1=m^2+2m+2\)
Otrzymaliśmy pewną funkcję zmiennej \(m\):
\(f(m)=m^2+2m+2\)
Jej wykresem jest parabola, której ramiona skierowane są do góry. Funkcja ta (funkcja kwadratowa) ma najmniejszą wartość w punkcie \(m_W\) równą \(f_W(m)\), gdzie \(W(m_W,f_W(m))\) jest wierzchołkiem paraboli. Mówiąc prościej: współrzędne wierzchołka tej paraboli stanowią rozwiązanie zadania, gdyż w tym punkcie funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. Znamy wzór na współrzędne wierzchołka:
\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}\)
Wykonujemy więc obliczenia, pamiętając, że analizujemy funkcję \(f(m)\):
\(\Delta_m=2^2-4\cdot2=-4\)
\(x_w=m_w=-\frac{2}{2}=-1\)
\(y_w=f_w(m)=-\frac{-4}{4}=1\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-615
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Zadanie nr 2.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 6.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).