Zadanie - układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi
Treść zadania:
Opisać za pomocą wzoru zbiór przedstawiony na rysunku, wiedząc, że punkty A, B i C mają całkowite współrzędne.
Rozwiązanie zadania
Figurę geometryczną w układzie współrzędnych można opisać za pomocą układu nierówności, tak jak to widać w zadaniu 237. Musimy w pierwszej kolejności znaleźć równania prostych, które zawierają boki trójkąta. Wypiszemy współrzędne wierzchołków (ponieważ w treści zadania jest informacja o tym, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi, mamy pewność co do odczytu współrzędnych, a nasze rozwiązanie nie będzie przybliżone).
\(A=(0,0)\)
\(B=(4,-1)\)
\(C=(2,2)\)
Zrobimy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczono proste zawierające boki trójkąta, proste zostały opisane równaniami ogólnymi, zaznaczono także obszary, jakie wyznaczają te proste tak, że częścią wspólną wszystkich obszarów jest właśnie trójkąt \(ABC\).
Krok 1 - wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok \(AC\) oraz nierówność wyznaczającą obszar zakreskowany.
Podstawiamy współrzędne punktów \(A\) i \(C\) do równania ogólnego prostej:
\(A=(0,0),\ C=(2,2)\)
\(y=a_1x+b_1\)
\(0=a_1\cdot 0+b_1\)
\(\underline{b_1=0}\)
\(y=a_1x+b_1\)
\(2=a_1\cdot 2+0\)
(2a_1=2/:2\)
\(\underline{a_1=1}\)
\(y=a_1x+b_1\)
\(y=x\)
Nierówność, która będzie określała obszar zakreskowany będzie następująca \(y\leq x\).
Interesują nas wszystkie punkty leżące poniżej prostej o równaniu \(y=x\) lub leżące na prostej.
Krok 2
Wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok \(BC\) oraz nierówność wyznaczającą obszar zaznaczony kolorem zielonym.
Podstawiamy współrzędne punktów \(B\) i \(C\) do równania ogólnego prostej, otrzymując w ten sposób układ równań, który rozwiążemy metodą przeciwnych współczynników:
\(B=(4,-1), \ C=(2,2)\)
\(y=a_1x+b_1\)
\(\begin{cases}-1=a_1\cdot 4+b_1 \\ 2=a_1\cdot 2+b_1 \end{cases}\)
\(\underline{_-\begin{cases}-1=4a_1+b_1 \\ \ 2=2a_1+b_1 \end{cases}}\)
\( \ \ \ -3=2a/:2\)
\( \ \ \ \ \ a=-\frac{3}{2}\)
\(2=2a_1+b_1\)\
\(2=2\cdot(-\frac{3}{2})+b_1\)
\(2=-3+b_1\)
\(b_1=5\)
\(y=-\frac{3}{2}x+5\)
Nierówność, która będzie określała obszar zaznaczony kolorem zielonym będzie następująca \(y\leq -\frac{3}{2}x+5\).
Interesują nas wszystkie punkty leżące poniżej prostej o równaniu \(y=-\frac{3}{2}x+5\) lub leżące na prostej.
Krok 3
Wyznaczamy równanie prostej zawierającej bok \(AB\) oraz nierówność wyznaczającą obszar zaznaczony deseniem.
Podstawiamy współrzędne punktów \(A\) i \(B\) do równania ogólnego prostej:
\(A=(0,0), \ B=(4,-1)\)
\(y=a_1x+b_1\)
\(0=a_1\cdot 0+b_1\)
\(\underline{b_1=0}\)
\(y=a_1x+b_1\)
\(-1=a_1\cdot 4+0\)
\(4a_1=-1/:4\)
\(\underline{a_1=-\frac{1}{4}}\)
\(y=a_1x+b_1\)
\(y=-\frac{1}{4}x\)
Nierówność która będzie określała obszar zakreskowany będzie następująca \(y\geq -\frac{1}{4}x\).
Interesują nas wszystkie punkty leżące powyżej prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{4}x\) lub leżące na prostej.
Część wspólna wszystkich wyznaczonych obszarów to nic innego jak trójkąt wraz z brzegiem, znajdujący się na ilustracji w treści zadania. Muszą być więc spełnione wszystkie nierówności, dlatego należy z nich utworzyć układ (spiąć klamrą).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-14, ZAD-629
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać graficznie układ nierówności
\(\begin{cases}y<3x+1 \\ y<-3x+1 \\y>x-1 \end{cases}\)
Zadanie nr 2.
Dany jest układ nierówności
\(\begin{cases}x>-1 \\ x<1 \\y>-1\\ y<1 \end{cases}\)
Który z punktów: \(A(0,0), B(1,1), C(0,-1)\) należy do graficznego rozwiązania układu nierówności?
Zadanie nr 3.
Rozwiązać graficznie układ nierówności:
\(\begin{cases} x-y<1 \\ x+y\geq 1 \end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać układ nierówności:
\(\begin{cases}2y+x<1\\-2y-x<-2 \end{cases}\)