Zadanie - układ równań - metoda przeciwnych współczynników

Treść zadania:

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:

a) \(\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}\)


ksiązki Rozwiązanie części a)

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, dzieląc obie strony pierwszego równania przez liczbę 3 oraz obie strony drugiego równania przez liczbę -2. (Gdybyśmy chcieli uzyskać przeciwne współczynniki przy zmiennej \(y\), należałoby podzielić obie strony pierwszego równania przez -4).

\(\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y/:3 \\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y/:(-2) \end{cases}\)

\(\begin{cases} \frac{1}{6}x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}y \\ -\frac{1}{6}x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{8}y \end{cases}\)

Przy zmiennej \(x\) mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:

\(\underline{_+\begin{cases} \frac{1}{6}x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}y \\ -\frac{1}{6}x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{8}y \end{cases}}\)

\(\cancel{\frac{1}{6}x}-\cancel{\frac{1}{6}x}-\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}y-\frac{1}{8}y\)

\(-\frac{4}{6}-\frac{9}{6}=\frac{8}{24}y-\frac{3}{24}y\)

\(-\frac{13}{6}=\frac{5}{24}y/\cdot \frac{24}{5}\)

\(-\frac{13}{\cancel{6}}\cdot \frac{\cancel{24}^4}{5}=y\)

\( y=-\frac{52}{5}\)

\(y=-10\frac{2}{5}\)

Wyznaczoną wartość zmiennej \(y\) wstawiamy do dowolnego równania, najłatwiej będzie, gdy wykorzystamy pierwsze równanie:

\(\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=-10\frac{2}{5}/\cdot 2\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-20\frac{4}{5}+4\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-16\frac{4}{5}\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases}\)

ksiązki Odpowiedź

\(\begin{cases} x=-16\frac{4}{5}\\ y=-10\frac{2}{5} \end{cases}\)

ksiązki Rozwiązanie częsci b)

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę 3 oraz obie strony drugiego równania przez liczbę 5. (Gdybyśmy chcieli uzyskać przeciwne współczynniki przy zmiennej \(y\), należałoby podzielić obie strony pierwszego równania przez 2 i drugiego równania przez 5).

\(\begin{cases} 5x+5y=-7/\cdot 3\\ -3x-2y=4/\cdot 5 \end{cases}\\ \begin{cases} 15x+15y=-21\\ -15x-10y=20 \end{cases}\)

Przy zmiennej \(x\) mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:

\(\underline{_+\begin{cases} 15x+15y=-21\\ -15x-10y=20 \end{cases}}\)

\(\cancel{15x}-\cancel{15x}+15y-10y=-21+20\)

\(-5y=-1/:5\\ y=\frac{1}{5}\)

Wyznaczoną wartość zmiennej \(y\) wstawiamy do dowolnego równania, najłatwiej będzie, gdy wykorzystamy pierwsze równanie:

\(\begin{cases} 5x+5y=-7\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5x+5\cdot \frac{1}{5}=-7\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5x+1=-7\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5x=-8/:5\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-\frac{8}{5}\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\)

ksiązki Odpowiedź

\(\begin{cases} x=-\frac{8}{5}\\ y=\frac{1}{5} \end{cases}\)

© medianauka.pl, 2010-02-25, ZAD-637

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:

parabola

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=-5x+3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:

a) \(\begin{cases} 3x-2y=-4 \\ x+3y=-5\end{cases}\)

b) \(\begin{cases} \sqrt{3}x+4y=1\\ x+2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:

a) \(\begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:

a) \(\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}\)

c) \(\begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:

A. \(P=(1,2)\)

B. \(P=(-1,2)\)

C. \(P=(-1,-2)\)

D. \(P=(1,-2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:

A. \(P=(1,2)\)

B. \(P=(-1,2)\)

C. \(P=(-1,-2)\)

D. \(P=(1,-2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których wykresy funkcji \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=5-ax\), przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Układ równań

\(\begin{cases}x-y=3\\ 2x+0,5y=4 \end{cases}\)

opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:

A. zbiór pusty.

B. dokładnie jeden punkt.

C. dokładnie dwa różne punkty.

D. zbiór nieskończony.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta AB przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

wzór

Wskaż ten układ:

A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}"\)

C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}"\)

D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań

\(\begin{cases} ax+y=5\\-2x+3y=2a\end{cases}\)

dla:

A. \(a=-1\)

B. \(a=1\)

C. \(a=-2\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.

Zadanie 8, matura 2021, matematyka

A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_0, y=y_0\). Wtedy

A. \(x_0>0\) i \(y_0>0\)

B. \(x_0>0\) i \(y_0<0\)

C. \(x_0<0\) i \(y_0>0\)

D. \(x_0<0\) i \(y_0<0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.